科学のおもちゃ箱@Hatena

ばねでつながれた質点系への衝突合体

振動衝突・運動量保存

高校レベル。運動が面白いのでまとめてみた。

【問題】

なめらかな水平面上に質量 $m,m,2m$ の小球A,B,Cがあり、BとCはばね定数 $k$ のばねで連結されて自然長で静止し、Cが壁に接している。そこへAが初速度 $v_0$ でBに衝突合体する。

f:id:yokkun831:20210212095205p:plain

Algodooシーン＞
https://img.atwikiimg.com/www14.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1486/bane-mass-gattai.phz

(1) 小球AとBが合体した直後の速度 $v_1$ を求めよ。
(2) 衝突後ばねが最も縮むまでの時間 $t_1$ と、最大縮みの長さ $d$ を求めよ。
(3) 十分な時間経過後Cが壁から離れ、A,B,Cは一体となって振動しながら左に動いていく。このときの全体の重心の速さ $v_2$ を求めよ。また、振動の振幅と周期を求めよ。

【解答】

(1)

運動量保存により
$mv_0 = 2mv_1$ 　→　 $v_1 = v_0/2$

(2)

振動の周期は

$T_1 = 2\pi \sqrt{\displaystyle\frac{2m}{k}}$

求める時間は

$t_1 = \displaystyle\frac{T_1}{4} = \pi\sqrt{\frac{m}{2k}}$

力学的エネルギー保存により

$\displaystyle\frac{1}{2}kd^2 = \frac{1}{2}\cdot 2m{v_1}^2$

したがって、

$d = v_1\sqrt{\displaystyle\frac{2m}{k}} = v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2k}}$

(3)

A,Bの合体のときにAの運動量は全体系に引き継がれ、壁との弾性衝突の後にはねかえったと考えることができる。したがって、

$mv_0 = 4mv_2$ 　→　 $v_2 = v_0/4$

振動の運動方程式は

$\mu a = - kx$

ただし、 $\mu = m$ は換算質量

よって、周期は

$T_2 = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}$

力学的エネルギー保存により

$\displaystyle\frac{1}{2}\cdot4m{v_2}^2+\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}\cdot2m{v_1}^2$

したがって、振幅は

$A = \displaystyle\frac{v_0}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}$

となる。