円弧状の面をもつ台と小球 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

福岡大'09入試問題より。円弧状の面をもつ台の上ですべってとびだす小球。

【問題】

図のように，半径 $r$ のなめらかな円弧状の面をもつ質量 $2m$ の台が，なめらかな水平面におかれている。円弧の左端は円の中心と同じ高さで，右端は鉛直下方からの中心角が60°になっている。質量 $m$ の小球を円弧の左端から静かにすべらせるときの運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし，摩擦や抵抗はいっさい考えなくてよい。また，高さの基準は円弧の最下点とせよ。

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(1) 台が固定されているとき，右端から飛び出した小球の最高点の高さを求めよ。
(2) 台が自由に動けるとき，右端から飛び出した小球の最高点の高さを求めよ。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=244&file=Fukuoka09.phz

【解答】

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(1)

とびだすときの速さを $v$ とすると，エネルギー保存により

$mg\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\;r = \frac{1}{2}mv^2 \qquad \therefore v = \sqrt{gr}$

最高点における速さは，とびだし速度の水平成分の大きさ $v/2$ に等しいから，あらためてエネルギー保存により，

$mgr = \displaystyle\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{2}\right)^2 + mgh \qquad \therefore h = \frac{7}{8}\;r$

※　または，鉛直方向の等加速度運動について

$\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}v}{2}\right)^2 = 2gy \quad \therefore y = \displaystyle\frac{3v^2}{8g} = \frac{3}{8}\;r ,\quad h = \displaystyle\frac{r}{2}+\frac{3r}{8} = \frac{7}{8}\;r$

(2)

小球のとびだし速度の水平・鉛直成分の大きさを $v_x,v_y$ ，そのときの台の速さを $V$ とする。

水平方向の外力はないから，運動量の水平成分は保存される。

$0 = mv_x - 2mV \qquad \therefore V = \displaystyle\frac{1}{2}v_x$

また，台から見た小球のとびだしにおける相対速度は，図のように仰角60°方向を向く。

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したがって，

$v_y = \displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{2}\;v_x$

エネルギー保存により，

$mg\cdot \displaystyle\frac{r}{2} = \frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}\cdot 2mV^2$

$V,v_y$ を代入して，

$v_x = \sqrt{\displaystyle\frac{4gr}{33}}$

を得る。求める最高点の高さを $h^\prime$ とおくと，あらためてエネルギー保存により

$mgr = \displaystyle\frac{1}{2}m({v_x}^2+{v_y}^2) + \frac{1}{2}\cdot 2m V^2 + mgh^\prime$

上の結果を代入して，

$h^\prime = \displaystyle\frac{10}{11}\;r$

となる。

※ または，

$v_y = 3\sqrt{\displaystyle\frac{gr}{11}}$

鉛直方向の等加速度運動から，

${v_y}^2 = 2gy^\prime \quad \therefore y^\prime = \displaystyle\frac{{v_y}^2}{2g} = \frac{9}{22}\;r ,\quad h^\prime = \frac{1}{2}\;r + \frac{9}{22}\;r = \frac{10}{11}\;r$

※ Algodoo の設定は， $r = 20$ [m] である。円弧内側の運動は，いつも若干のロスが出る。多角形扱いになるからか？

（初稿：2009/12/08）