無限回衝突問題 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

無限時間の後の一体化 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
この問題に対する繰り返し衝突の考察。

【問題】

なめらかな水平面上にある半径 $R$ 、質量 $M$ のリングの中心に質量 $m$ の質点を入れて，質点に初速 $v_0$ を与える。リングと質点が衝突を繰り返すとき、 $n$ 回目の衝突後の両者の速度を求めよ。また、 $n$ 回目の衝突までの時間を求めよ。ただし，リングと質点の間のはねかえり定数は $e \lt 1$ とする。

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$n$ 回目の衝突後の両者の速度を、 $v_n, V_n$ とすると
運動量保存
$mv_0 = mv_1+MV_1 = mv_2+MV_2 = \cdots = mv_n+MV_n$
反発係数の式
$e = \displaystyle \frac{V_1 - v_1}{v_0} = -\displaystyle\frac{V_2 - v_2}{V_1 - v_1} = \cdots = (-1)^{n-1}\displaystyle\frac{V_n - v_n}{V_{n-1} - v_{n-1}}$
すなわち、
$-(-e)^n = \displaystyle\frac{V_n - v_n}{v_0}$

連立方程式を解けば、
$v_n = \displaystyle\frac{m+(-e)^n M}{M+m}\; v_0$
$V_n = \displaystyle\frac{\{1-(-e)^n\}m}{M+m}\; v_0$
を得る。

$n$ 回目の衝突までの時間は
$T(n) = \displaystyle\frac{R}{v_0}\Big\{1+2\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{e^2}+\cdots+\frac{1}{e^{n-1}}\right)\Big\}\\ = \displaystyle\frac{R}{v_0}\Big\{1+\frac{2(1-e^{n-1})}{e^{n-1}(1-e)}\Big\}$
となる。

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http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=561&file=RingMasspoint.phz