地球貫通トンネル内での無限回衝突 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

地球中心を貫くトンネル内の単振動問題はよく知られているが、2球が単振動をしながら衝突を繰り返す運動の考察がおもしろい。
Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/314/1496/chikyu-kantsu-tunnel-shoutotsu.phz

運動方程式と単振動の周期

地球を半径 $R$ 、一様密度 $\rho$ の球であるとする。地球中心Oを貫通するトンネルAB内で万有引力のみを受ける質点の運動を考える。

運動方程式は
$m\ddot{x} = - \displaystyle\frac{4}{3}\pi Gm\rho \cdot x = - Kx$
周期は
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{K}} = \displaystyle\frac{2\pi}{\sqrt{\displaystyle\frac{4}{3}\pi G\rho}}$
となる。

非弾性衝突を繰り返す運動

質量 $m$ の小球PをＡからスタートさせ、続いて等質量の小球Ｑを同じくＡからスタートさせたら、P,Q はOBの中点Cで衝突した。はねかえり係数を $e$ とするときその後の運動を考察する。
f:id:yokkun831:20220206175023p:plain

力学的エネルギー保存
$\displaystyle\frac{1}{2}m{v_c}^2 + \frac{1}{2}K\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}KR^2$
により、Cでの衝突直前の速さは
$v_c = \displaystyle\frac{R}{2}\sqrt{\frac{3K}{m}}$

衝突後の単振動の振幅を $d$ とすると
$\displaystyle\frac{1}{2}m(ev_c)^2 + \frac{1}{2}K\left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}Kd^2$
より
$d = \displaystyle\frac{R}{2}\sqrt{1+3e^2}$
となる。