SF-02 地球直貫トンネル - 科学のおもちゃ箱@Hatena

SFぶつり―重力編―　SF-02

　SF的近未来の地球上高速移動手段はいろいろ考えられるが，重力を直接利用しようという地球直貫トンネルは，実現可能性はさておき，なかなかユニークなものだ。

(1)　ローカルなV字トンネル

　まず比較的小規模のものを考えてみよう。
　2地点A，Bを図のようなV字形トンネルで結ぶ。Aを初速0で出発した列車は，摩擦や抵抗を無視できるほど小さくおさえることができれば，Cまで重力で加速し，その後上り坂で減速してBに到着する。

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　C点の深さ $h$ が地球半径に対して十分小さく，したがって全行程にわたって重力加速度は $g$ に等しいものとすれば，AC間の列車の加速度は，

$a = g\sin\theta =\displaystyle \frac{gh}{\sqrt{(L/2)^2+h^2}}$

となるからAB間の所要時間 $T$ は，次のようになる。

$\displaystyle\frac{1}{2}a\left( \frac{T}{2} \right) ^2 = \sqrt{ \left( \frac{L}{2} \right) ^2+h^2}$

$\therefore T = 2 \sqrt{\displaystyle\frac{2}{a}\sqrt{ \left( \frac{L}{2} \right) ^2+h^2}} = 2 \sqrt{\displaystyle\frac{2}{gh}\left\{ \left( \frac{L}{2} \right) ^2 +h^2 \right\}} ≒ L \sqrt{\displaystyle\frac{2}{gh}}$

ここで $h\ll L$ として近似をとった。このときC地点を通過する列車の速さは，

$v_{\textrm{max.}} = \sqrt{2gh}$

となる。 $L=400\textrm{km}$ ， $h=20 \textrm{km}$ とすると，

$T = 1280 \;\textrm{s} ≒ 20 \;\textrm{min.}　，　v_{\textrm{max.}} = 626 \;\textrm{m/s} ≒ 2300 \;\textrm{km/h}$

となり，東京－大阪間を20分ほどで行けることになる。このときのトンネルの傾斜角は6°ほどで，加速度は約1 m/s $^2$ であり妥当なところだろう。
　ところで，最大深度 $h$ と所要時間の関係はどうなっているだろうか？　 $h$ の増大とともに，所要時間の短縮はゆるやかになっていく。たとえば，上の計算で $h=10$ km としても $T$ ≒30 分なので，こちらの方がよさそうだ。このとき $v_{\textrm{max.}}=$ 443 m/s ≒ 1600 km/h である。　 $h=$ 5 km では $T$ ≒43 分， $v_{\textrm{max.}}$ ≒ 1100 km/h　…　トンネルを掘るのに要する手間は深さとともに飛躍的に増大するだろうから，妥協点をみつけることになろう。