第１宇宙速度による投射

中心力場

【問題】
第１宇宙速度によって地表から 仰角 \theta で発射された物体の着地点は，発射点からの中心角で \pi-2\theta の地点になることを証明せよ。ただし，空気抵抗は無視できるものとする。


【解答】
まず，投射体の軌道が地球中心を焦点とし地球半径に等しい長半径をもつ楕円になることを認めよう。
エネルギーによって軌道長半径が決まること２ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

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図を見ればわかるように，発射点及び着地点は軌道上で焦点からの距離が長半径に等しい点だから，楕円軌道の短軸の両端になることは明らかである。つまり，両地点は楕円軌道を２等分する。したがって，発射速度と着地速度は平行になる。あとは簡単な図形問題。

2\alpha = \pi - 2\theta

はただちに得られる。

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実は、この簡明な証明を得る前に恥ずかしながら「数学バカ」に陥った経緯がある。計算自体は無駄なことではないので、その経緯を紹介しておく。
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第１宇宙速度は，

V = \displaystyle\sqrt{\frac{GM}{R}}
ただし，G：万有引力定数，M：地球質量，R：地球半径

である。軌道の遠地点および近地点（地球内部）の距離を r，そこでの速さを v とすると，エネルギー保存により

\displaystyle\frac{1}{2}mV^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}

また，角運動量保存（面積速度一定）により

RV\cos\theta = rv

両式より v を消去すると r に関する２次方程式を得る。

r^2 - 2Rr + R^2\cos^2\theta = 0

これを解くと遠地点・近地点距離

r = R(1\pm\sin\theta)

を得る。結果として，エネルギーが決まれば長半径は決まり，この問題では軌道長半径は R に等しいことがわかる。同時に，楕円軌道の離心率が

\varepsilon = \sin\theta

となるべきことが示された。楕円軌道の極座標形式

r(\phi) = \displaystyle\frac{l}{1+\varepsilon\cos\phi}

において，上を考慮し半直弦に

l = R(1-\varepsilon^2)

を適用すれば，

r(\phi) = \displaystyle\frac{R\cos^2\theta}{1 + \sin\theta\cos\phi}

を得る。発射点における方位角を \phi_0 とすると，r(\phi_0)=R だから

\displaystyle\frac{\cos^2\theta}{1+\sin\theta\cos\phi_0} = 1

整理すると，

\phi_0 = \theta + \displaystyle\frac{\pi}{2}

求める中心角を 2\alpha とおけば，

2\alpha = 2(\pi - \phi_0) = \pi - 2\theta

を得る。

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もうひとつ直交座標による解法を試みよう。

軌道面において地表を示す方程式を

x^2 + y^2 = R^2

とすると，x 軸を長軸とする軌道は，離心率を用いて

\displaystyle\frac{(x - \varepsilon R)^2}{R^2} + \frac{y^2}{(1 - \varepsilon^2)R^2} = 1

と書ける。これらの交点すなわち発射点（着地点）を求めると

x = \varepsilon R

を得る。つまり，発射点および着地点は楕円軌道の短軸の両端となる。すると，発射速度は x 軸に平行になり，上の図から明らかなように

2\alpha = 2\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \pi - 2\theta

となる。

【初稿追記】
後から気づいたのだが，上記の

x = \varepsilon R

は，２次方程式を解くまでもなく，楕円の長半径が R であることからただちにいえることであった。焦点からの距離が長半径 R に等しい楕円上の点は，短軸の両端になることはあたりまえだ。

（初稿：2012/11/22，24）