接地した2連棒振り子の運動 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「Yahoo! 知恵袋」から拾った問題。

【問題】

なめらかな水平面から高さ $l$ のOを固定軸として回転できる質量 $m$ , 長さ $l$ の細い棒OAと、Aを回転軸としてつながれた質量 $2m$ , 長さ $2l$ の細い棒ABを図１の静止位置から放す｡Bはつねに接地し、水平面をすべるものとする。各部の摩擦や空気抵抗は無視でき、重力加速度の大きさを $g$ とする。
(1)　棒OAが回転して、A端が点Oの真下を通過するときのB端の速さ $v$ を求めよ｡（図２）
(2)　棒OAがさらに回転して、棒OA、ABが一直線になる瞬間の棒OAの角速度の大きさ $\omega$ を求めよ｡（図３）
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Algodooシーンのダウンロード：
https://img.atwikiimg.com/www14.atwiki.jp/yokkun/attach/1/1482/Link-free.phz

【解答】

(1)
Oを軸としたOAの慣性モーメントは、
$I_1 = \displaystyle\frac{1}{3}ml^2$
重力による位置エネルギーの基準を水平面として、力学的エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}I_1\omega^2 + \frac{1}{2}\cdot 2mv^2 + mg\cdot\frac{l}{2} = mgl + 2mg\cdot\frac{l}{2}$
ただし、 $\omega$ はOAの角速度の大きさで
$v = l\omega$
である。
$v$ について解けば、
$v = \sqrt{\displaystyle\frac{9gh}{7}}$
を得る。

(2)
OABが一直線になるとき、点Bは瞬間回転中心になる。
ABのBまわりの慣性モーメントは、
$I_2 = \displaystyle\frac{1}{3}\cdot 2m\cdot (2l)^2 = \frac{8}{3}ml^2$
OAの角速度 $\omega$ とすると、この瞬間にABの角速度は $\omega/2$ である。
力学的エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}I_1\omega^2 + \frac{1}{2}I_2\left(\frac{\omega}{2}\right)^2 + mg\cdot\frac{5}{6}l + 2mg\cdot\frac{l}{3} = mgl + 2mg\cdot\frac{l}{2}$
$\omega$ について解けば、
$\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l}}$
を得る。

Algodooの設定は、 $m=80$ kg, $l=1.2$ m である。
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