p-V図上の直線経路における吸熱・放熱

下のような $p$ － $V$ 図上の直線経路ABにおいて、理想気体が途中吸熱から放熱に切り替わることは知ってはいたが、計算したものを見失ったのであらためて考察してみた。

状態Cにおいて状態方程式
$p_0V_0 = nRT_0$
とすると、状態A,Bは温度 $2T_0$ の等温曲線上となる。等温曲線より経路は上にあるから、いったん温度は上昇し、Bでもとにもどる。

変化A→Bにおいてエネルギー収支を考察すると
$W_{\rm out} = \displaystyle\frac{3}{2}p_0V_0$
${\it \Delta}U = 0$
したがって、
$Q_{\rm in} = {\it \Delta}U + W_{\rm out} = \displaystyle\frac{3}{2}p_0V_0 = \frac{3}{2}nRT_0$
の吸熱となる。

しかし、A→Bの全過程でつねに吸熱となることは保証されていない。そこで、A→Bの途上での吸熱・放熱の判定を考えてみる。

A→Bの変化途上の状態は、パラメーター $x\;(0\le x \le 1)$ を用いて
$p = p_0(2 - x)$
$V = V_0(1+x)$
と書ける。

$x～x+{\it \Delta}x$ の微小変化においてエネルギー収支を考察すると
${\it \Delta}W = p{\it \Delta}V = p_0V_0(2 - x){\it \Delta}x = nRT_0(2 - x){\it \Delta}x$

$pV = nRT$ より
$T = (2 - x)(1+x)T_0$
微小温度変化は
${\it \Delta}T = T_0(1 - 2x){\it \Delta}x$
となるから、内部エネルギー変化は
${\it \Delta}U = nC_vT_0(1 - 2x){\it \Delta}x$

したがって、吸熱は
${\it \Delta}Q = {\it \Delta}U + {\it \Delta}W = nT_0{\it \Delta}x\{C_v(1 - 2x) + R(2 - x)\}$
となる。

単原子分子理想気体では
$C_v = \displaystyle\frac{3}{2}R$
を適用して
${\it \Delta}Q = nRT_0{\it \Delta}x\left(\displaystyle\frac{7}{2} - 4x\right)$
したがって、 $x=7/8$ で吸熱から放熱に切り替わる。

2原子分子理想気体では
$C_v = \displaystyle\frac{5}{2}R$
を適用して
${\it \Delta}Q = nRT_0{\it \Delta}x\left(\displaystyle\frac{9}{2} - 6x\right)$
したがって、 $x=3/4$ で吸熱から放熱に切り替わる。