似て非なる悪問

ロケット方程式を思い出させる「良問」と思いきや、似て非なる「悪問」とはまさにこういうものである。

【問題】
重力加速度 g のもと、水滴が落下している。はじめ水滴の質量は m_0 だが、単位時間あたり質量が \mu 減少し、時間 t 後の質量は

m(t)=m_0-\mu t

と表される。初速度を0とし、時間 t 後の落下速度 v(t) を求めよ。ただし、空気抵抗は無視できるものとする。

これの正答は、

v(t)=\displaystyle\frac{(m_0t-\mu t^2/2)g}{m_0-\mu t}

なのだそうだ。


運動方程式

\displaystyle\frac{d(mv)}{dt} = mg

の右辺に m(t) を適用して、積分すると上の結果を得る。
青が自由落下、緑が水滴の加速落下の v-t グラフとなる。こんなことが実際あり得るだろうか？

上の運動方程式をそのままこの問題場面に適用することには疑義がある。蒸発した水の運動量を０にしてしまっているからである。
つまり、水滴は蒸発分を逆向きに自分の速度と同じ大きさの相対速度で上向きに噴射していることになる。シミュレーションしてみると、重力加速度以上に加速することになるのはそのためにほかならない。

質量 m+{\it \Delta}m の水滴が、{\it \Delta}m を放出するとする。微小時間 {\it \Delta}t 内の運動量‐力積関係を示すと

(m+{\it \Delta}m)v + mg{\it \Delta}t = m(v+{\it \Delta}v)

これが「正答」とされる考察である。放出される水の運動量 v{\it \Delta}m がいきなり０になっている。

より現実的な考察は、{\it \Delta}m の速度は v にとどまると考えるものであろう。
その場合の運動量‐力積関係は

(m+{\it \Delta}m)v + mg{\it \Delta}t = m(v+{\it \Delta}v) + v{\it \Delta}m

したがって、結果として普通に自由落下の運動方程式を得る。

m\displaystyle\frac{dv}{dt} = mg

加速には力が必要である。たとえ質量が変化するとしても、逃げたりくっついたりした質量との相互作用＝力こそが加速度の原因でなければならない。いきなりまるごとの運動量の消失や出現はありえない。