小球を投げ出して走る台車

衝突・運動量保存

オリジナル問題。通常は相対速度を一定とする設定が普通だが，そうでない場合の発展的な問題。小球を落下によって水平に投げ出して加速する台車。

【問題】

総質量 M_0 の台車が，高さ h のタンクから１秒に１個ずつ落下してレールをすべりおりた質量 m の小球を水平後方に投げ出して初速ゼロから加速していく。重力加速度の大きさを g とし，車輪の質量および摩擦や抵抗は無視できるものとする。また，小球の投げ出しが終わるまで次の小球は落下しない。

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(1) 台車が小球を投げ出す相対速さ v_0 が一定であるものとして，台車の質量が M のときから１個投げ出して M-m になったときの台車の速さの変化 {\it\Delta}V を求めよ。

(2) 厳密には，(1)は正しくない。v_0 が一定であることは前提とせずに，同様に質量 M から M-m になったときの台車の速さの変化 {\it\Delta}V を求めよ。

※ Algodooの設定は，M_0=10[kg],m=0.10[kg],h=2.0[m] である。

Algodoo シーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=254&file=GP-car.phz

【解答】小球を投げ出して走る台車

(1)

小球が落ちる前の台車の速さを V とすると，運動量保存により

MV = (M-m)(V+{\it\Delta}V) + m(V-v_0)\qquad \therefore {\it\Delta}V = \displaystyle\frac{m}{M-m}\;v_0

(2)

小球が投げ出される速さを v，そのときの台車の速さを V^\prime として，運動量保存により

MV = (M-m)V^\prime - mv

また，エネルギー保存により

\displaystyle\frac{1}{2}MV^2 + mgh = \frac{1}{2}(M-m){V^\prime}^2 + \frac{1}{2}mv^2

両式から v を消去して整理すると，

{V^\prime}^2 - 2VV^\prime + V^2 - \displaystyle\frac{2m^2gh}{M(M-m)} = 0

\therefore {\it\Delta}V = V^\prime - V = \sqrt{\displaystyle\frac{2m^2gh}{M(M-m)}}

を得る。

(2)の結果において，m \ll M および，v_0 \simeq \sqrt{2gh} を考慮すると，(1)の結果に一致する。

ちなみに，t 秒後の台車の速さは，(1) の場合

V(t) = \sum_{k=1}^t\left(\displaystyle\frac{m}{M_0-km}\;v_0\right)

また，m \ll M を考慮し，m をガスの一様な噴出とするとき，(1)は

dV = \displaystyle\frac{-dM}{M}v_0\qquad \therefore V(t) = v_0 \ln\frac{M_0}{M(t)}

となって，「ツィオルコフスキーのロケット方程式」に一致する。

(2)の場合 t 秒後の速さは，

V(t) = \sum_{k=1}^t\sqrt{\displaystyle\frac{2m^2gh}{(M_0-km+m)(M_0-km)}}

となる。上の３つの V(t) は，m \ll M の近似において一致し，下図のような変化となる。

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（初稿：2009/12/15）