滑り出しの垂直抗力

力のモーメントのつりあいの問題としてよく見かける場面だが、滑り出す運動は回転運動も生じて何かと複雑である。そういえば、
すべる棒が壁を離れるとき - 科学のおもちゃ箱@Hatena
でも大分悩まされたことを思い出した。

【問題】
長さ l、質量 m の一様な細い棒ABがなめらかな鉛直面と粗い水平面に立てかけられ、水平面との角度 \theta から放されて滑り出すとき、滑り始めた直後の鉛直面と水平面からの垂直抗力 N_{\rm A}, N_{\rm B} を求めよ。ただし、水平面と棒の間の動摩擦係数 \mu、重力加速度の大きさを g とし、運動は鉛直面内に限られるとする。

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【解答】
棒の重心の座標を (x, y) とすると、重心の運動方程式は

m\ddot{x} = N_{\rm A} - \mu N_{\rm B}\\ m \ddot{y} = N_{\rm B} - mg

となる。

回転の運動方程式は瞬間回転中心となるCのまわりで立式するのが簡明である。

\Big\{\displaystyle\frac{1}{12}ml^2 + m\left(\frac{l}{2}\right)^2\Big\}\ddot{\theta} = - mg\frac{l}{2}\cos\theta + \mu N_{\rm B} l\sin\theta

y = \displaystyle\frac{l}{2}\sin\theta を第２式に適用して

\ddot\theta = \displaystyle\frac{2(N_{\rm B} - mg)}{ml\cos\theta}

これを第3式に適用して

N_{\rm B} = \displaystyle\frac{4 - 3\cos^2\theta}{4 - 6\mu\sin\theta\cos\theta} mg

を得る。

x = \displaystyle\frac{l}{2}\cos\theta を第１式に適用して

N_{\rm A} = \Big\{\displaystyle\frac{(\mu - \tan\theta)(4 - 3\cos^2\theta)}{4 - 6\mu\sin\theta\cos\theta} + \tan\theta\Big\}mg

を得る。途中計算は省いたが、x,y の時間微分を含めなかなか根気のいるプロセスとなる。