連星系軌道の近点から遠点を得る - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質量 $M, m$ の連星系の近点距離 $r_1$ およびその相対速さ $v_1$ から遠点距離 $r_2$ およびその相対速さ $v_2$ を得る。

$M \gg m$ の場合については、
近日点から遠日点を得る - 科学のおもちゃ箱@Hatena
で考察したが、計算はほとんど同じである。

面積速度一定より
$r_1 v_1 = r_2 v_2$

力学的エネルギー保存より
$\displaystyle\frac{1}{2}\mu{v_1}^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}\mu{v_2}^2 - \frac{GMm}{r_2}$
ただし、
$\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}$
は換算質量。

2式連立して
$r_2 = \displaystyle\frac{{r_1}^2{v_1}^2}{2G(M+m)- r_1{v_1}^2}$
$v_2 = \displaystyle\frac{2G(M+m) - r_1{v_1}^2}{r_1 v_1}$
を得る。

重心系におけるそれぞれの運動においてもほぼ同じ表式となり、重心からの距離が質量の逆比になるだけだから、両者は重心を焦点とする相似な楕円軌道を描くことになる。