円筒面を転がる円柱

剛体の回転・角運動量保存 エネルギー保存

【問題】
図のように、仰角 \alpha の斜面と半径 R の円弧状の曲面を点Sで滑らかに接続した坂道を転がる円柱の運動について考える。円柱は、斜面上で最下点Pから重心の高さが R となる点Qに、そっと置かれるものとする。円柱は一様で質量を M 、半径を a とする。また、斜面および曲面と円柱の間の静止摩擦係数を \mu 、重力加速度の大きさを g とする。円柱は斜面を滑ることなく転がり、最下点Pを通過後円弧を上り始めた。円柱が滑り始める角度 \theta を求めよ。ここで \theta は最下点Pからの円弧の中心角とする。

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【解答】
\theta の位置にあるとき

半径方向の運動方程式
\displaystyle\frac{Mv^2}{R-a} = N - Mg\cos\theta

力学的エネルギー保存より
Mg(R-a)\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2
ただし、I = \displaystyle\frac{1}{2}Ma^2
滑らずに転がる条件 v = a\omega を適用すると
Mg(R-a)\cos\theta = \displaystyle\frac{3}{4}Mv^2

2式連立して、
N = \displaystyle\frac{7}{3} Mg\cos\theta 　…①
を得る。

接線方向の運動方程式
M\dot{v} = F - Mg\sin\theta

重心まわりの回転の運動方程式
\displaystyle\frac{1}{2}Ma^2\dot{\omega} = -Fa

2式連立して v=a\omega を適用すると
F = \displaystyle\frac{1}{3} Mg\sin\theta　…②
を得る。

滑らずに転がる限界
F = \mu N
に①②を適用すると
\tan\theta = 7\mu
を得る。

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ωは最下点の角速度。青い線が滑り始めの理論値である。