連星系の質量欠損 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

以前、連星系の公転が突然停止したら、とか、一方の質量が突然欠損したら、とかの突飛な考察をしたことがあった。
連星系の崩壊 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
連星系の崩壊２ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

今回の考察は質量欠損の続きだが、無限遠に離れて崩壊するというのでなく、どういう軌道にシフトするかを考えてみる。これも、「知恵袋」から拾ったネタである。

連星間の距離を $r$ として、中心Oまわりにそれぞれ
$u = \displaystyle\sqrt{\frac{GM}{2r}}$
の速さで公転していた等質量連星の一方の質量が突然 $M$ から $m$ に減少したとする。質量欠損によって相互の位置と速度は変わらないものとして、その後の軌道を考察する。

重心はＯからＧに移動するが、シフト後の重心は初速
$V_G = \displaystyle\frac{M-m}{M+m}\cdot u$
をもつから、連星系は全体としてこの速さで移動することになる。
そこで、重心系での軌道がどうなるかを考えよう。

近点距離 $r_1$ における相対速さ $U_1$ 、遠点距離 $r_2$ における相対速さ $U_2$ に対して、
面積速度一定から
$r_1U_1 = r_2U_2$
また、力学的エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}\mu {U_1}^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}\mu {U_2}^2 - \frac{GMm}{r_2}$
ただし、 $\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}$ は換算質量