弾性衝突後の角度関係 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

質点Aが等質量の静止した質点Bに弾性衝突したとき、衝突後の散乱方向が直交することはよく知られている。A,Bの質量が異なり、 $m_1,m_2$ とするとき、静止したBにAが速度 $v_0$ で弾性衝突したときのA,Bの散乱角 $\theta_1,\theta_2$ の関係を求めたい。

運動量保存とエネルギー保存を連立させるわけだが、衝突方向はBの散乱方向とわかっているから、反発係数１が簡明だろう。

$m_1v_1\cos\theta_1 + m_2v_2\cos\theta_2 = m_1v_0$

$m_1v_1\sin\theta_1 + m_2v_2\sin\theta_2 = 0$

$v\cos\theta_2 = v_2 - v_1\cos(\theta_2 - \theta_1)$

※ $\theta_1,\theta_2$ は同じ向きに定義していることに注意。

第2式より

$v_2 = - \displaystyle\frac{m_1\sin\theta_1}{m_2\sin\theta_2} v_1$

第1式に代入して

$v_1 = \displaystyle\frac{\sin\theta_2}{\sin(\theta_2 - \theta_1)} v$

$v_2 = - \displaystyle\frac{m_1\sin\theta_1}{m_2\sin(\theta_2 - \theta_1)} v$

第3式に適用すると、

$\displaystyle\frac{\sin(\theta_1 - 2\theta_2)}{\sin\theta_1} = \frac{m_1}{m_2}$

という関係を得る。

もちろん、上の $v_1,v_2$ をエネルギー保存に適用しても、計算がやや複雑にはなるものの、さほどの労もなく同じ結果に至る。