2球の斜め弾性衝突

衝突・運動量保存
【問題】

質量 m_1 の小球１が v_0 の速度で進行し、静止している質量 m_2 の小球２に弾性衝突をする。小球１は初めの進行方向から \alpha の角度に速さ v_1 、小球２は \beta の角度に速さ v_2 で跳ね返った。

(1) \tan\alpha を m_1,m_2,\beta で表せ。
(2) m_1=m_2 の場合、\alpha,\beta の間にどういった関係が成立するか。

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【解答】

(1)

運動量保存により
m_1v_0 = m_1v_1\cos\alpha+m_2v_2\cos\beta
0 = m_1v_1\sin\alpha - m_2v_2\sin\beta

2式連立により
v_1 = \displaystyle\frac{v_0\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \qquad\qquad v_2 = \frac{v_0\sin\alpha}{\gamma\sin(\alpha+\beta)}
ただし、\gamma = m_2/m_1

エネルギー保存により
\displaystyle\frac{1}{2}m_1{v_0}^2 = \frac{1}{2}m_1{v_1}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_2}^2

これに上の結果を適用すると
\tan\alpha = \displaystyle\frac{\sin 2\beta}{m_1/m_2 - \cos 2\beta}
を得る。

省略をしたが、途中計算はなかなか大変である。

別解として質量中心系における運動を考察する方法についてまとめておく。上記に比較して必ずしも簡明とは言えないが、考察のほとんどを作図で済ませている点がエレガントである。

質量中心系における、１の速さを u_1、２の速さを u_2 とおくと、衝突前後においてこの速さは保存されることになる。速度の関係をベクトル図にすると、下のようになる。

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u_1, u_2 は質量に反比例するから、定数 \kappa を用いて
u_1 = \kappa m_2\qquad\qquad u_2 = \kappa m_1
と置くことができる。

余弦定理により
{v_1}^2 = \kappa^2({m_1}^2+{m_2}^2) - 2\kappa^2m_1m_2\cos 2\beta
\kappa m_1 = v_1\cos\alpha + \kappa m_2\cos 2\beta

2式より v_1 を消去して整理すると、
\tan\alpha = \displaystyle\frac{\sin 2\beta}{m_1/m_2 - \cos 2\beta}
を得る。

(2)

m_1 = m_2 のとき、
\tan\alpha = \displaystyle\frac{\sin 2\beta}{1-\cos 2\beta}

整理すると
\alpha+\beta = \displaystyle\frac{\pi}{2}
を得る。

この場合、ベクトル図ひとつで運動量保存とエネルギー保存が簡明に表現されることはよく知られている。