ばねで連結された２つの振り子

振動

ばね定数 k のばねで連結された質量 m、長さ l の２つの単振り子の微小振動を解析する。つり合い位置でばねは自然長とする。
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左右の振り子の角変位を \theta_1,\theta_2 として微小振動の近似を適用すると、ラグランジアンは

L = \displaystyle\frac{1}{2} ml^2\dot{\theta_1}^2+\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta_2}^2-\frac{1}{2}mgl{\theta_1}^2-\frac{1}{2}mgl{\theta_2}^2-\frac{1}{2}kl^2(\theta_2-\theta_1)^2

微分して運動方程式を立式すれば

\ddot{\theta_1} = -({\omega_g}^2+{\omega_k}^2)\theta_1 + {\omega_k}^2\theta_2\\ \ddot{\theta_2} = {\omega_k}^2\theta_1-({\omega_g}^2+{\omega_k}^2)\theta_2
\omega_g = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l}},\qquad\omega_k = \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}

を得る。固有振動数は、

\omega_{1,2} = \omega_g, \sqrt{{\omega_g}^2+2{\omega_k}^2}

対応する振幅関係は A_1=±A_2 となり、初期変位0の解として

\theta_1 = A \sin\omega_1 t + B \sin\omega_2 t\\ \theta_2 = A \sin\omega_1 t - B \sin\omega_2 t

を得る。

左にのみ初速度を与えた場合のシミュレーションは以下の通り。

ばねが弱いとき、はっきりしたエネルギー交換が現れる。