並進・回転の独立な振動

振動 ラグランジュ方程式

「解析力学」（久保）にある問題。２本のばねでつりさげられた棒の並進・回転の振動。

【問題】

質量 m ，長さ 2a の一様な棒が，ばね定数 k の同じばね２本で鉛直につりさげられている。棒の鉛直方向の振動と，鉛直面内の微小回転が同時に起こる運動について，運動方程式を立てて考察せよ。

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※Algodooの設定は，m=3.0 [kg]、a=1.0 [m]、k=5.0 [N/m] である。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=387&file=Independence.phz


【解答】

ラグランジアンは，

L = \displaystyle\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 + mgx - \frac{1}{2}k(x_0+x+a\theta)^2-\frac{1}{2}k(x_0+x-a\theta)^2

ただし，

I = \displaystyle\frac{1}{3}ma^2

ラグランジアンを微分すると，

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} \qquad \frac{\partial L}{\partial x} = -2kx

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = I\dot{\theta} \qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -2ka^2\theta

したがって，運動方程式

m\ddot{x} = -2kx

I\ddot{\theta} = -2ka^2 \theta\quad {\rm or}\quad m\ddot{\theta} = -6k\theta

を得る。並進・回転の振動は相互に影響することがなく独立になり，基本振動数は

\omega_x = \displaystyle\sqrt\frac{2k}{m} \qquad \omega_\theta = \sqrt\frac{6k}{m}

となる。

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（初稿：2010/04/30）