楕円軌道を得る水平速度

「知恵袋」から拾った問題。問題はごくありふれたものだが、多くの解説や参考書では両端を個別に求めているのに対して、初めから簡明に「サンドイッチ」できないかという「ワガママ」なご注文。

【問題】

地球半径を として、地球中心から の高さにおいて速度が水平方向に の人工衛星が、地球に衝突せず、かつ無限遠方に飛び去ることも無く楕円軌道を描く速さ の範囲を求めよ。地球質量、万有引力定数 とする。

【解答】

軌道長半径によって衛星の力学的エネルギーが決まってしまうことを用いると簡明である。

エネルギーによって軌道長半径が決まること - 科学のおもちゃ箱@Hatena
エネルギーによって軌道長半径が決まること２ - 科学のおもちゃ箱@Hatena

軌道長半径 の衛星の力学的エネルギーにおいて、

が成立する。したがって、題意により

結果は、

となる。