1m離れた1kgの質点が万有引力でくっつく時間

中心力場

この引力について考えたことのある人は多いだろうが，くっつくのにどれだけ時間がかかるかを計算したことのある人がどれだけいるだろうか？　高校生（？）が思いついたおもしろい問題。結果は１日ちょっと。

【問題】
質量がぞれぞれ1.0kgの物体A、Bを1m離れた場所に置く。この２つの物体には万有引力がはたらき、お互いにひきつけあう力が働く。これらの物体が衝突するのにかかる時間を求めよ。なお、これら２つの物体には万有引力以外の力ははたらかないものとする。万有引力定数を G=6.67\times10^{-11}[{\rm Nm}^2{\rm /kg}^2]とする。


基本的に，
連星系の崩壊 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
に同じ。
２質点間の距離を r(t),r(0)=r_0 として，運動時間を求める。

エネルギー保存は

\displaystyle\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2 - \frac{Gm^2}{r} = -\frac{Gm^2}{r_0}

（\mu=m/2 は換算質量。質点個別の運動エネルギーを計算してもこの式に帰着する）

整理すると，

\displaystyle\frac{dr}{dt} = -2\sqrt{ Gm\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}\right) }

求める時間 T は，

T = \displaystyle\frac{1}{2\sqrt{Gm}}\times I,\qquad I = \int_0^{r_0}\frac{dr}{\sqrt{\displaystyle\frac{1}{r} - \frac{1}{r_0}}}

積分 I を計算する。u=\sqrt{1/r - 1/r_0} とおくと，

I = 2\displaystyle\int_0^\infty\frac{du}{(u^2 + 1/r_0)^2}

さらに，u = \tan\theta/\sqrt{r_0} とおくと，

I = 2{r_0}^{3/2}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta = \frac{\pi {r_0}^{3/2}}{2}

したがって，

T = \displaystyle\frac{\pi {r_0}^{3/2}}{ 4\sqrt{Gm} } = 9.62\times10^4[{\rm s}] = 26.7[{\rm h}]

を得る。Algodooの設定は，G=0.002 で理論値17.56秒。
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Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=483&file=Inryoku.phz

（初稿：2011/01/23）