重力多体系 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

万有引力を及ぼしあう $N$ 個の天体系において，特定の天体が受ける力の記述。

ポテンシャルエネルギーと力をつなぐ計算だから，決して難しい問題ではないが，エレガントに記述するには工夫がいる。

【問題】

万有引力を及ぼしあう $N$ 個の天体系において， $i$ 番目の天体が他の天体から受ける力は

$\boldsymbol{F}_i = -\displaystyle\sum_{j=1}^N \frac{GM_iM_j(\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j)}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|^3}$ 　…(1)

となる。ただし， $M_i,\boldsymbol{R}_i=(x_i,y_i,z_i)$ は $i$ 番目の天体の質量および位置である。
ここで関数

$V(\boldsymbol{R}_1,\boldsymbol{R}_2,\cdots,\boldsymbol{R}_N) = -\displaystyle\sum_{i\lt j}\frac{GM_iM_j}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|}$

を定義すると，(1)は

$\boldsymbol{F}_i = -\displaystyle\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{R}_i}V(\boldsymbol{R}_1,\boldsymbol{R}_2,\cdots,\boldsymbol{R}_N) = -\left(\frac{\partial V}{\partial x_i},\frac{\partial V}{\partial y_i},\frac{\partial V}{\partial z_i}\right)$

と書けることを示せ。

【解答】

$|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j| = \sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}$

より，

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{1}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|} = -\frac{x_i-x_j}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|^3}\qquad,\qquad\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|} = \frac{x_i-x_j}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|^3}$

面倒なので，

$f(i,j) = -\displaystyle\frac{GM_iM_j(x_i - x_j)}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|^3} = -f(j,i)$

と書くと，力 $\boldsymbol{F}_i$ の $x$ 成分は

$F_{ix} = \displaystyle\sum_jf(i,j)$

となるが，これを示せばよい。

$F_{ix} = -\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}\sum_{i\lt j}\frac{GM_iM_j}{|\boldsymbol{R}_i-\boldsymbol{R}_j|}$
$\qquad = \displaystyle\sum_{k\lt j} \left[ \frac{\partial x_k}{\partial x_i}f(k,j) - \frac{\partial x_j}{\partial x_i}f(k,j) \right]$
$\qquad = \displaystyle\sum_{j(\gt i)}f(i,j) - \sum_{k(\lt i)}f(k,i)$ 　　※　 $i$ は固定されていることに注意
　　　 $= \displaystyle\sum_{j(\gt i)}f(i,j) + \sum_{k(\lt i)}f(i,k)$
　　　 $= \displaystyle\sum_jf(i,j)$ 　　※　 $f(i,i)=0$