2019-04-05

双極子が非一様電場から受ける力

電磁気

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1198447316より。電気双極子が，非一様な（場所に依存する）電場から受ける力を求める，ベクトル解析の問題。
【問題】

非一様な(場所に依存する)電場 $\boldsymbol{E}$ の中で双極子モーメント $\boldsymbol{p}$ にはたらく力は，

$\boldsymbol{F} = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E})$

で表されることを示せ。ただし，ベクトル解析の公式

$\boldsymbol{p}\times(\nabla\times\boldsymbol{E}) = \nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{p}\cdot\nabla\boldsymbol{E}$

を用いること。

2019-04-03

中心力 -kr を受ける質点の最接近距離

中心力場

Yahoo! 知恵袋から拾った問題。おもしろい小問だけつまみぐい。
【問題】
質量 $m$ の質点が、原点Oからの距離 $r$ に比例する中心力 $F = -kr$ （ $k\gt 0$ ：比例定数）を受けて、 $x-y$ 平面内で原点まわりの回転運動をする。
時刻 $t=0$ に質点は、図のように $x$ 軸上（ $x\gt 0$ ）で原点からの距離 $r_0$ の位置にあり、 $y$ 軸正方向から反時計回りに角度 $\phi$ （ $0\lt \phi \lt \pi/2$ ）の方向に速さ $v_0$ をもって運動を始めた。

$m{v_0}^2 \ll k{r_0}^2$ のとき、この質点と原点Oとの最短距離 $r_{\rm{min}}$ を求めよ。

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2019-03-28

ビルを越える最小速度

放物運動

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1473711449　より。ビルをぎりぎり越える最小速度の条件を問う。
【問題】
水平な地面の上に厚さ $2b$ ,高さ $h$ の鉛直な壁があり、その断面は長方形である。

点Oから距離 $L$ の位置にある地面上の点から、地面と角度 $\theta$ をなす方向に速さ $v_0$ で質点を投げる。点Oを原点として図のように $x$ 軸， $y$ 軸をとる。質点は $xy$ 平面内でのみ運動するものとし，重力加速度の大きさを $g$ とする。空気抵抗は無視してよい。

距離 $L$ と角度 $\theta$ を調節してなるべく小さな $v_0$ で質点を投げ上げ，地面にも壁にもぶつかることなく壁を飛び越えさせたい。必要最小限の速さ $v_0$ と，そのときの $L$ および $\theta$ を求めよ。
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2019-03-28

コリオリ力を考慮した鉛直投げ上げ

慣性力

OKWave>http://okwave.jp/qa/q7361417.html　の質問に対して，赤道直下での鉛直投げ上げにおけるコリオリ力の影響を試算してみた。

自由落下におけるコリオリ力の影響については，下記を参照されたい。

地表系における自由落下点のずれとその近似について
>http://homepage2.nifty.com/ysc/zure.pdf

赤道上でなおかつ鉛直方向の運動に対するコリオリ力の影響ということで，やや意外な現象であるが，慣性系から見て水平初速成分がゼロではないこと，角運動量保存により高さによって水平速度成分が変化することを考えれば納得できる。

地表からの鉛直投げ上げでは，どのような運動をすることになるだろう。

赤道面上に平面極座標 $(r,\phi)$ をとると，空気抵抗を無視した投射体の運動方程式は

$\ddot{r} = -g_0+r\dot{\phi}^2 \simeq -g$

$r^2\dot{\phi} = R^2\omega$
　　　　　※ $R$ は地球半径， $\omega$ は地球自転の角速度

となる。第１式の $-g_0$ は，遠心力を含まない重力加速度であるが，本来重力には遠心力が含まれ，なおかつ現実の運動範囲での遠心力の差は極めて小さいから無視してよいだろう。したがって重力加速度 $-g$ は定数とする。第2式は角運動量保存則である。初期条件として，

$r(0) = R\quad,\quad\dot{r}(0) = v_0$

を採用する。運動方程式の第１式はただちに積分できて，

$r(t) = R + v_0t - \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$

第２式は，

$\displaystyle\frac{d\phi}{dt} = \left(\frac{R}{r(t)}\right)^2\omega$

となる。最高点が100mに達するような初速度を与えた積分結果は下のようになり，約９cm西にずれて着地する結果となった。

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Algodooによるシミュレーション。赤が地表の動き。
地表から見ると自転後方（西）に落下する（ピンクの曲線）。

Algodooシーンのダウンロード
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=562&file=NeilsCurve.phz

（初稿：2012/03/14）

2019-03-28

斜面上で回転静止する円筒

剛体の回転・角運動量保存

オリジナル問題。斜面上で円筒がすべり回転しながら静止し続ける条件を求める。
【問題】（(2)(3)は大学レベル）
傾角 $\theta$ の斜面上で，半径 $R$ ，質量 $M$ の円筒が回転してすべっている。重力加速度の大きさを $g$ として，下の各問いに答えよ。
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(1) 円筒がすべりながら斜面上に静止するためには，円筒と斜面の間の動摩擦係数はいくらでなければならないか。

(2) (1)の条件を満たすとき，初め $\omega$ の角速度で回転を始めた円筒の，回転が止まるまでの時間を求めよ。

(3) (2)で回転が止まった後，円筒はすべることなく転がりながら斜面を下った。このときの円筒の重心まわりの角加速度を求めよ。

※ Algodoo の設定は， $\theta=\pi/6 , R=1.0{\rm m} , \omega=100{\rm rad/s}$ である。

2019-03-28

ファインマンのトラス問題

静力学

「物理のかぎしっぽ数式掲示板」に寄せられた質問から，「ファインマン物理学」の力学の演習にあるトラスの問題。
【問題】
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図のようなトラスで、対角線の支柱はみな5の長さ、水平の支柱はみな6の長さである。
つなぎめは蝶番でみな自由に動く。トラスの重さは無視できる。
a)　図のように荷をかけたとき、支柱のどれとどれは、針金で代用できるか。
b)　支柱BD,DEの内部にはたらく力を求めよ。