Yahoo! 知恵袋から拾った問題。直交座標と自然座標の比較研究のよい材料。
【問題】
鉛直平面(x-z平面)上のなめらかなスロープ に沿う質量 の質点の運動を考える。
(1) スロープに沿った運動において、力学的エネルギー保存を導出せよ。
(2) スロープが 方向に一定の加速度 をもって運動するとき、スロープに固定された直交座標における運動方程式を導出せよ。
(3) (2) の運動において質点がスロープから離れるときの条件を導出せよ。
(1) 運動経路にそった「自然座標」を取るのが簡明である。
図のようにスロープの位置における傾き角をとおくと、運動方程式は
ここで、を適用して
両辺にをかけて
積分して力学的エネルギー保存を得る。
ただし、 である。
(2) スロープに固定した直交座標系による運動方程式は、
ただし、に沿った運動を考えるから、
である。
(3) (2)で得た運動方程式よりを消去し、 を考慮して について解くと、質点がスロープを離れる条件 すなわち
ただし、
を得る。
省略したが、垂直抗力を求めるこの計算はなかなかやっかいなシロモノである。そこで、結果の妥当性の検討を兼ねて、自然座標を用いて計算してみた。法線方向の運動方程式は、
ここで、曲率半径は
である。ここから条件が比較的容易に得られる。