球面に拘束された質点の運動

中心力場 ラグランジュ方程式

一様な重力下で固定された球面に拘束された質点（球面振子）の運動の解析。

球の半径を R とし，わかりやすいグラフの描画のために重力方向を主軸方向として球面座標 (\theta,\phi)（\theta は鉛直下方からの角変位で， \phi は水平方位角）をとる。質量 m の質点のラグランジアンは，

L = \displaystyle\frac{1}{2}mR^2(\dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2\sin^2\theta)+mgR\cos\theta

微分して，

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta} = mR^2\dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta\quad,\quad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta}
\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \phi} = 0\quad,\quad \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mR^2\dot{\phi}\sin^2\theta

したがって運動方程式は，

\ddot{\theta} = \dot{\phi}^2\sin\theta\cos\theta - \displaystyle\frac{g}{R}\sin\theta
\displaystyle\frac{d}{dt}(\dot{\phi}\sin^2\theta) = 0

第２式（角運動量保存）により，

\dot{\phi}\sin^2\theta = \Omega \qquad \therefore \dot{\phi} = \displaystyle\frac{\Omega}{\sin^2\theta}

第１式に代入して，

\ddot{\theta} = \displaystyle\frac{\Omega^2\cos\theta}{\sin^3\theta} - \frac{g}{R}\sin\theta

を得る。数値積分の結果を下図に示す。

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この初期条件では，質点は下半分のお椀の中を比較的おとなしく行ったり来たりしている。

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しかし，こちらの方は，質点は上半分に運動領域を拡大し，ななめに回転するような動きになっている。その運動の激しさからか，数値積分の方もついていけなくなって，エネルギー保存が壊れ気味である。

運動領域の制限について考察しよう。角運動量保存およびエネルギー保存によって制約を受けるのは \theta である。系の力学的エネルギーは，

E = \displaystyle\frac{1}{2}mR^2\left(\dot{\theta}^2 + \frac{\Omega^2}{\sin^2\theta}\right) - mgR\cos\theta

\therefore \dot{\theta}^2 = \displaystyle\frac{2E}{mR^2} - \frac{\Omega^2}{\sin^2\theta} + \frac{2g}{R}\cos\theta \ge 0

これが \theta を制限する。=0の方程式は u=\cos\theta として，

u^3 + \displaystyle\frac{E}{mgR}u^2 - u - \frac{E}{mgR} + \frac{R\Omega^2}{2g} = 0

と整理される。２番目の場合（\Omega=\pi）に適用して \theta の範囲を求めると，

30°\lt \theta \lt 119°

を得た。３次方程式を解いたのはMathcadである。＾＾；


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（初稿：2010/12/07）