ラザフォード散乱の軌道 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

ラザフォード散乱の軌道の導出は，古典的には惑星軌道の導出とほとんど変わらない。結果らしいものがわかったので，自分なりに導出してみた。

設定条件は，衝突パラメータ $b$ ，標的核の電荷 $Ze$ ，α粒子の質量および電荷 $m,2e$ である。平面極座標 $(r,\phi)$ をとり，入射方向を $\phi=0$ ，最近接方向を $\phi=\alpha$ とする。動径方向および方位角方向の運動方程式は，

$m(\ddot{r}-r\dot{\phi}^2) = \displaystyle\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}$

$\displaystyle\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi}) = 0 \quad {\rm i.e.}\quad r^2\dot{\phi} = h$

となる。

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この運動方程式から軌道方程式に至るプロセスは，
運動方程式から軌道方程式まで（１） - 科学のおもちゃ箱@Hatena
以下に詳しく紹介したので省略する。異なる点は，万有引力が電気斥力に置き換えられることだけである。惑星の軌道方程式は，

$\displaystyle\frac{1}{r} = \frac{1+\varepsilon\cos(\phi-\alpha)}{l} = \frac{GM}{h^2} + C\cos(\phi-\alpha)$

と書ける。近日点を $\phi=\alpha$ とした。 $\alpha$ および $C$ は，初期条件によって決定される。電気力への置き換えは，

$-\displaystyle\frac{GMm}{r^2} <---> \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}$

による。また，保存される角運動量は

$h = r^2\dot{\phi} = vb$

である。置き換えた結果は，

$\displaystyle\frac{1}{r} = -\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2} + C\cos(\phi-\alpha)$

となる。さて， $C$ と $\alpha$ を決定しよう。まず，入射方向 $\phi=0$ のときに $r=\infty$ として，

$0 = -\displaystyle\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2} + C\cos\alpha \quad \therefore C\cos\alpha = \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2}$

さらに $1/r$ の式を時間微分すると，

$-\displaystyle\frac{\dot{r}}{r^2} = -C\sin(\phi-\alpha)\cdot \dot{\phi} = -\frac{Ch}{r^2}\sin(\phi-\alpha)$

したがって，

$C\sin(\phi-\alpha) = \displaystyle\frac{\dot{r}}{h} = \frac{\dot{r}}{vb}$

となるが，初期条件により $\phi=0$ のとき， $\dot{r} = -v$ であるから，

$C\sin\alpha = \displaystyle\frac{1}{b}$

よって，

$C\cos(\phi-\alpha) = C\cos\phi\cos\alpha + C\sin\phi\sin\alpha = \displaystyle\frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2}\cos\phi +\frac{\sin\phi}{b}$

以上を代入して，軌道方程式の最終結果は，

$\displaystyle\frac{1}{r} = \frac{\sin\phi}{b} + \frac{2Ze^2}{4\pi\varepsilon_0mv^2b^2}(\cos\phi-1)$

となる。

（初稿：2010/05/07）