単振動をエネルギー保存から解く

振動

Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1367000713より。単振動はエネルギー保存からすっきり解ける好例である。

【問題】
ばね定数 k のばねに結ばれた質量 m の質点の単振動を考える。この系のエネルギー保存

\displaystyle\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2 = E

より速度に対する微分方程式（xに関する１階の微分方程式）を求め，単振動の一般解を導出せよ。


【解答】
\displaystyle\frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} kx^2 = E
\therefore v = \displaystyle\frac{dx}{dt} = \pm\sqrt{\frac{2E - kx^2}{m}}

dt > 0 としてよく，このときvの符号はdxの符号に一致する。

k/m = \omega^2, 2E/m = a\omega^2 ( a > 0, \omega > 0) とおくと，

\displaystyle\frac{dx}{dt} = \pm\omega\sqrt{ a^2 - x^2 }

これが求める微分方程式である。

\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ a^2 - x^2 }} = \pm\omega dt

x = a \sin\theta とおくと， dx = a \cos\theta d\theta

上に代入すると，

d\theta = \omega dt

（※複号は分母の根号をはずしたとき \cos\theta に吸収される）

\therefore \theta = \omega t + \phi

すなわち，

x = a \sin(\omega t + \phi )

を得る。
（初稿：2011/07/20）