二重振子の運動方程式 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

OKWave>http://okwave.jp/qa/q5549172.htmlのQ&Aより。二重振子をラグランジアンを使わないで解く。
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よく，ラグランジュ方程式の例題として用いられる二重振子。

$L = \displaystyle\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{2}ml^2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})^2 + mgl\cos\theta_1 + mgl(\cos\theta_1+\cos\theta_2)$

　　　　※ 第2項ですでに微小振動の近似をしている。

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -2mgl\sin\theta_1 \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}} = ml^2(2\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})$

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta_2} = -mgl\sin\theta_2 \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}} = ml^2(\dot{\theta_1}+\dot{\theta_2})$

微小振動の近似をとって，運動方程式は

$2\ddot{\theta_1}+\ddot{\theta_2} = -\displaystyle\frac{2g}{l}\;\theta_1$

$\ddot{\theta_1}+\ddot{\theta_2} = -\displaystyle\frac{g}{l}\;\theta_2$

となる。

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ラグランジアンを用いないで，力をあらわにして解いてみる。

$ml^2\ddot{\theta_1} = -mgl\sin\theta_1 +Tl\sin(\theta_2 - \theta_1)$

$ml^2\ddot{\theta_2} = -mgl\sin\theta_2 - ml^2\ddot{\theta_1}\cos(\theta_2-\theta_1) - ml^2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_2-\theta_1)$

$ml\dot{\theta_2}^2 = T - mg\cos\theta_2 + ml\ddot\theta_1\sin(\theta_2-\theta_1) - ml\dot{\theta_1}^2\cos(\theta_2-\theta_1)$

ごちゃごちゃしてわかりにくいが，第1式は質点1の接線方向の運動方程式である。第2式，第3式は質点2の接線方向，半径方向の運動方程式だが，質点1の位置を軸としているため，慣性力が入っている。いずれにせよ，張力 $T$ を消去し，２次以上の微小項をおとして整理すると

$\ddot{\theta_1} = -\displaystyle\frac{g}{l}(2\theta_1-\theta_2)$

$\ddot{\theta_1} + \ddot{\theta_2} = -\displaystyle\frac{g}{l}\;\theta_2$

を得る。ラグランジュ方程式の結果と同じであることは容易に確認できる。

参考として，単振動の標準形を示す。

$\sqrt 2\ddot\theta_1+\ddot\theta_2 = -\displaystyle\frac{(2-\sqrt 2)g}{l}\;(\sqrt 2 \theta_1 + \theta_2)$

$\sqrt 2 \ddot\theta_1 - \ddot\theta_2 = -\displaystyle\frac{(2+\sqrt 2)g}{l}\;(\sqrt 2 \theta_1 - \theta_2)$

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MathCad による数値積分結果（ $\theta_1(0)=\pi/18,\theta_2(0)=-\pi/18$ ）
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Algodoo によるシミュレーション

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=285&file=WPend.phz

（初稿：2009/12/27）