ばねつき台車に乗る小物体

相対運動 衝突・運動量保存
【問題】

質量 m の小物体が速さ v_0で水平な台の上をすべり，なめらかにつながる水平面をもつ質量 M の台車に乗り移る。台車にはばね定数 k の軽いばねが固定されており，小物体が衝突すると連結されるようになっている（ばねについた連結体の質量は無視できる）。運動の全過程において摩擦や衝突による力学的エネルギーの散逸は無視できるものとする。シミュレーションでの設定は，m=0.30kg，M=0.60kg，v_0=0.60m/s，k=0.60N/mである。

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I. 台車が床に固定されている場合

(1) 小物体がばねに連結してから，ばねが縮む長さの最大値を求めよ。
(2) 小物体がばねに連結してから後の振動の周期を求めよ。

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II. 台車が自由に動ける場合

(3) 小物体がばねに連結してから，ばねが最も縮んだときの小物体と台車の速さを求めよ。
(4) (3)のとき，ばねが縮んだ長さを求めよ。
(5) 小物体がばねに連結してから後の振動の周期を求めよ。

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Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=190&file=SpringCar.phz

【解答】

I.
(1)

エネルギー保存により

\displaystyle\frac{1}{2}mv_0\;^2 = \frac{1}{2}kx_0\;^2 ,\qquad \therefore x_0 = v_0\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}

(2)

小物体の運動方程式は，

ma = -kx

単振動となるから，

\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}} \qquad \therefore T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}

シミュレーションの設定で，理論値は T=4.44s。シミュレーション結果は4.46s である。

II.
(3)

運動量保存により

mv_0 = (M+m)V \qquad \therefore V = \displaystyle\frac{m}{M+m}v_0

(4)

エネルギー保存により

\displaystyle\frac{1}{2}mv_0\;^2 = \frac{1}{2}(M+m)V^2 + \frac{1}{2}kx_0\;^2 \qquad \therefore x_0 = v_0\sqrt{\displaystyle\frac{Mm}{k(M+m)}}

(5)

台車から見た小物体の運動方程式は，台車の加速度 A として

ma = -kx - mA, \qquad MA = kx
\therefore a = -\displaystyle\frac{M+m}{Mm}kx

単振動となるから，

\omega=\sqrt{\displaystyle\frac{k(M+m)}{Mm}} \qquad \therefore T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{Mm}{k(M+m)}}

シミュレーションの設定で，理論値は T=3.63s。シミュレーション結果は3.72s である。

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（初稿：2009/11/15）