回転方向で差のあるブレーキ

回転方向によって,その強さに差のあるブレーキの問題。
Yahoo!知恵袋>http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1153517291より。
【問題】
車輪にブレーキBCが備わっていて、ブレーキはB点で丈夫な枠に蝶番で固定されている。車輪の軸はAである。伸ばされたバネACが、車輪のリムにブレーキの台木を押しつけている。ただし,∠ACB=\alphaである。

時計回りの車輪の回転では、ブレーキの台木で発生する摩擦力はF_1であるとする。リムに対する台木の摩擦係数を\muとして,反時計回りに車輪が回転するときの摩擦力を求めよ。
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※ Algodooの設定は\alpha=30°,\mu=0.25である。


【解答】
ポイントは,台木がロッドBCから受ける力にある。ロッドは回転軸連結されているので,台木が受ける力はロッド方向になる。これが回転方向によって方向がひっくり返るわけだ。
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台木を着目物体として図のように力を設定し,そのつりあいを考える。
時計回りのときのつりあい

$$R_1\sin\alpha = \mu N_1 = F_1$$

$$R_1\cos\alpha + N_1 = f$$

両式からR_1を消去して,

$$N_1 = f\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha + \mu}$$

反時計回りのときのつりあい

$$R_2\sin\alpha = \mu N_2 = F_2$$

$$R_2\cos\alpha + f = N_2$$

両式からR_2を消去して,

$$N_2 = f\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha - \mu}$$

N_2\gt 0 でなければならないので,\tan\alpha\gt\mu

ゆえに

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{\tan\alpha + \mu}{\tan\alpha - \mu}$$
     ただし,\mu\lt \tan\alpha

を得る。
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Algodooでは,台木のぶれが生じるためかやや誤差が大きめだが,概ね一致を示している。設定は\alpha=30°,\mu=0.25である。
Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=472&file=Breaking.phz

(初稿:2011/01/11)