板の上を転がる大小球の曲芸 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

「楽しめる物理問題200選」の問題を少しやさしくしたもの。大球に小球が水平に接したまま転がるように板を引く曲芸。

【問題】
密度が等しく半径が $2r, \; r$ の大小の球を図のように質量 $M$ の板の上に配置する。球の質量は $8m,\; m$ である。2球が滑らずに転がり、中心を結ぶ直線が水平を保つように運動させるには、板をどれだけの力で引かなければならないか。ただし、床はなめらかで摩擦は無視でき、球どうしおよび大球と板の間の静止摩擦係数は十分大きいとする。また、重力加速度の大きさを $g$ とする。
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図のようにおくと、
板の運動方程式
$MA = F - f_1$
大球の運動方程式
$8ma = f_1 - N$
小球の運動方程式
$ma = N$
小球の鉛直方向のつりあい
$f_2 = mg$
大球の回転の運動方程式
$\displaystyle\frac{2}{5}8m(2r)^2\dot{\omega_1} = (f_1 - f_2)\cdot 2r$
小球の回転の運動方程式
$\displaystyle\frac{2}{5}mr^2\dot{\omega_2} = f_2 r$
滑らずにころがる条件
$A - a = 2r\dot{\omega _1},\qquad 2r\dot{\omega_1} = r\dot{\omega_2}$

以上を連立させる。結果は、
$F = \left(9m+\displaystyle\frac{7}{2}M\right)g$
となる。

$A = \displaystyle\frac{7}{2}g$ だから、曲芸としては無理がある。
中心を結ぶ直線を水平からの角度 $\phi$ を保って動かす場合は、
$F = \left(9m+\displaystyle\frac{7}{2}M\right)\displaystyle\frac{g\cos\phi}{1+\sin\phi}$
となり、 $\phi=\pi/3$ ではようやく $g$ より小さい 9.2m/s $^2$ ぐらいになる。

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