軌道の微分方程式を積分して,軌道方程式を得る。
(3) 軌道方程式を導出する
軌道が満たすべき微分方程式として,
を得た。簡単のため,右辺を とおくと,
となるから,ただちに
を得る。余弦の中にもうひとつの積分定数である初期位相をとるべきだが,近日点(最小の位置)を にとることで省略することに不都合はないだろう。座標変数を にもどせば,
という形に整理できる。これは,円錐曲線(円錐を平面で切ったときの切り口の形)とよばれる2次曲線群を表しており,
:楕円
:放物線
:双曲線
に相当して,初期条件の違いによって,それぞれ実現可能な軌道となる。なお,
はいわゆる半直弦および離心率である。での場合を図に示す。
(初稿:2010/03/16)