惑星のエネルギー保存と軌道方程式

エネルギー保存 中心力場 物理数学

惑星の軌道方程式
r = \displaystyle\frac{l}{1+\varepsilon\cos\phi}
の積分定数である l,\varepsilon を用いてエネルギーを記述し、エネルギー保存から運動において r がとり得る範囲を求む。


運動方程式
m\ddot{\boldsymbol{r}} = - \displaystyle\frac{GMm\boldsymbol{r}}{r^3}

速度 \dot{\boldsymbol{r}} との内積をとると
m \dot{\boldsymbol{r}}\cdot\ddot{\boldsymbol{r}} = - \displaystyle\frac{GMm\boldsymbol{r}\cdot\dot{\boldsymbol{r}}}{r^3} = - \frac{GMm\dot{r}}{r^2}
時間積分すると
\displaystyle\frac{1}{2}m {\dot{\boldsymbol{r}}}^2 = \frac{GMm}{r} + E
↓
E = \displaystyle\frac{1}{2} m{\dot{\boldsymbol{r}}}^2 - \frac{GMm}{r} = K + U = \rm{const.}

エネルギーを成分で書くと
E = \displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) - \frac{GMm}{r}

角運動量
L = mr^2\dot{\phi} = \rm{const.}
↓
\dot{\phi} = \displaystyle\frac{L}{mr^2}
を用いると
E = \displaystyle\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2 + \displaystyle\frac{L^2}{m^2r^2}\right) - \displaystyle\frac{GMm}{r}

r = \displaystyle\frac{l}{1+\varepsilon \cos\phi}
↓
\dot{r} = \displaystyle\frac{\varepsilon l \dot{\phi}\sin\phi}{(1+ \varepsilon \cos\phi)^2} = \displaystyle\frac{\varepsilon L \sin\phi}{ml}
また、
l=\displaystyle\frac{L^2}{GMm^2} …※
を適用して整理すると
E = -\displaystyle\frac{L^2(1 - \varepsilon^2)}{2ml^2} = -\frac{GMm(1 - \varepsilon^2)}{2l}
を得る。

※については
近日点：r_{\rm{min}} = \displaystyle\frac{l}{1+\varepsilon}
遠日点：r_{\rm{max}} = \displaystyle\frac{l}{1 - \varepsilon}
を比較したエネルギー保存を用いるか、または、軌道方程式の導出
https://yokkun831.hatenablog.com/entry/2020/07/25/140218
によって得られる。

r のとり得る範囲については
E = m\left(\dot{r}^2 + \displaystyle\frac{L^2}{m^2r^2}\right) - \displaystyle\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm(1 - \varepsilon^2)}{2l}
↓
\dot{r}^2 = \displaystyle\frac{L^2}{m^2} {\Large\{} \frac{\varepsilon^2}{l^2} - \left(\frac{1}{l} - \frac{1}{r}\right)^2 {\Large\}} \ge 0
より
\displaystyle\frac{\varepsilon}{l} \ge {\Large{|}}\frac{1}{l} - \frac{1}{r}{\Large{|}}
↓
\displaystyle\frac{l}{1+\varepsilon} \le r \le \frac{l}{1 - \varepsilon}
となり、軌道方程式
r = \displaystyle\frac{l}{1+\varepsilon \cos\phi}
と整合している。