回転軸連結された２本の棒 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

一端を連結軸として慣性で逆回転する２本の棒の運動を解析する。

【問題】（大学レベル）

質量 $m$ ，長さ $l$ の２本の棒が，一端を摩擦抵抗のない回転軸で連結されている。２本が重なった状態から，互いに逆回転の初期角速度を与えた場合，その後の慣性運動（外力なし）を求む。

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【解答】

外力がないから，全体の重心は静止したままである。重心を原点とし，図のように座標軸をとるとき，左回転する棒の重心（中心）の座標を $(0,y)$ ，棒の連結軸の座標を $(x,0)$ とおく。このときの回転角を $\theta$ とすると，

$x = -\displaystyle\frac{l}{2}\cos\theta\qquad y = \frac{l}{2}\sin\theta$

$\dot{x} = \displaystyle\frac{l\dot{\theta}}{2}\sin\theta \qquad \dot{y} = \displaystyle\frac{l\dot{\theta}}{2}\cos\theta$

系のラグランジアンは，

$L = 2\left(\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{y}^2 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2\right) = \displaystyle\frac{1}{12}ml^2\dot{\theta}^2(1+3\cos^2\theta)$

となる。微分すると，

$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2\sin\theta\cos\theta$
$\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \displaystyle\frac{1}{6}ml^2\dot{\theta}(1+3\cos^2\theta)$