回転の慣性

剛体の回転・角運動量保存 振動 ラグランジュ方程式

回転の慣性が振動周期に影響を与えるひとつの例。

【問題】
質量 M の台がばね定数 k のばねに連結され，なめらかな水平面上を振動する。半径 r，質量 m の円筒が台の上面をすべらずに転がるとする。初め，ばねの自然長からの台の変位 X(0)=A において，円筒が台上で静止している状態から放した場合の両者の運動を考える。

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(1)　ばねの自然長からの台の変位 X ，円筒の回転角 \theta を座標として運動方程式を立てよ。
(2)　振動の周期を求めよ。
(3)　\theta の振幅を求めよ。

Algodooシーンのダウンロード
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/377/882/Inertia.phz

※　Algodooの設定は，M=2.0{\rm kg}\,,\,m=1.0{\rm kg}\,,\,k=10{\rm N/m}\,,\,r=0.40{\rm m} である。

【解答】
(1)

ラグランジアンを書き下ろすのが簡明である。円筒の振動中心からの変位を x として，

L = \displaystyle\frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2 - \frac{1}{2}kX^2

ただし，

I = \displaystyle\frac{1}{2}mr^2

は，円筒の慣性モーメント。また，

x = X - r\theta

である。微分して運動方程式をつくると，

\ddot{X} - \displaystyle\frac{m}{M+m}r\ddot{\theta} = -\frac{k}{M+m}X

\ddot{X} - \displaystyle\frac{3}{2}r\ddot{\theta} = 0

を得る。

(2)

(1)の両式から \ddot{\theta} を消去すれば，

\ddot{X} = -\displaystyle\frac{3k}{3M+m}X

となり，振動の周期

T = 2\pi\displaystyle\sqrt\frac{3M+m}{3k}

を得る。

(3)

(1)の第２式を積分すれば，振幅

\theta_0 = \displaystyle\frac{2A}{3r}

を得る。ちなみに，x の振幅は

x_0 = A - r\theta_0 = \displaystyle\frac{1}{3}A

であり，台に対する円筒の振幅は 2A/3 となる。

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（初稿：2010/04/02）