水平面上の球体のすべりと転がり

[問題]

一様な球(半径a,質量M)が水平な直径を軸として角速度 \omega_0 で回転しながら、軸と直角な方向に粗い水平面に沿って初速 v_0 で動き始めた。 その後、球はどのような運動をするか。ただし球の回転の向きは、球が滑らずに転がるだけであると、後退するような向きに与えられているとする。(出典:『基礎物理コース 力学』)
f:id:yokkun831:20200207152610p:plain

[解答]

動摩擦係数 \mu として、
重心の運動方程式
M\ddot{x} = -\mu Mg
重心まわりの回転の運動方程式
\displaystyle\frac{2}{5}Ma^2\ddot{\theta} = -\mu Mga

重心速度および回転の角速度は、
v = v_0 - \mu gt
\omega = \omega_0 - \displaystyle\frac{5\mu g}{2a}t
によって変化する。
すべりが持続しているという前提の下で、それぞれ0となる時刻は
t_1 = \displaystyle\frac{v_0}{\mu g}
t_2 = \displaystyle\frac{2a\omega_0}{5\mu g}
である。
また、すべりから転がりへ移行する時刻は
v = -a\omega より、t_3 = \displaystyle\frac{2(v_0+a\omega_0)}{7\mu g}
である。

(i) v_0 \lt \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0 のとき
重心速度が先にt = t_1 で0になり、逆行を始める。その後t = t_3 ですべりから転がりへ移行する。
(ii) :v_0 = \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0 のとき
重心速度と角速度が一緒に0になり、t = t_1 = t_2 = t_3 で球体は静止する。
(iii) :v_0 \gt \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0 のとき
角速度が先に t = t_2 で0になり、その後逆転して、t = t_3ですべりから転がりへ移行する。

(ii)の状況というのは、実はよく起こることである。テーブルクロス引きで球体が角速度と初速度を与えられたとき、この初期条件が与えられる。

テーブルクロスから球体が受ける摩擦力は、テーブル面に対して力のモーメントをもたないから、テーブル面上の任意軸まわりの角運動量が0に保存される。
 Mav_0 - \displaystyle\frac{2}{5}Ma^2\omega_0 = 0
\therefore v_0 = \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0
したがって、クロスをはなれた球体はいずれ静止する。
(参考:『楽しめる物理問題200選』)