水平面上の球体のすべりと転がり - 科学のおもちゃ箱@Hatena

［問題］

一様な球（半径 $a$ ，質量 $M$ ）が水平な直径を軸として角速度 $\omega_0$ で回転しながら、軸と直角な方向に粗い水平面に沿って初速 $v_0$ で動き始めた。その後、球はどのような運動をするか。ただし球の回転の向きは、球が滑らずに転がるだけであると、後退するような向きに与えられているとする。（出典：『基礎物理コース　力学』）
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［解答］

動摩擦係数 $\mu$ として、
重心の運動方程式
$M\ddot{x} = -\mu Mg$
重心まわりの回転の運動方程式
$\displaystyle\frac{2}{5}Ma^2\ddot{\theta} = -\mu Mga$

重心速度および回転の角速度は、
$v = v_0 - \mu gt$
$\omega = \omega_0 - \displaystyle\frac{5\mu g}{2a}t$
によって変化する。
すべりが持続しているという前提の下で、それぞれ0となる時刻は
$t_1 = \displaystyle\frac{v_0}{\mu g}$
$t_2 = \displaystyle\frac{2a\omega_0}{5\mu g}$
である。
また、すべりから転がりへ移行する時刻は
$v = -a\omega$ より、 $t_3 = \displaystyle\frac{2(v_0+a\omega_0)}{7\mu g}$
である。

(i) $v_0 \lt \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0$ のとき
重心速度が先に $t = t_1$ で０になり、逆行を始める。その後 $t = t_3$ ですべりから転がりへ移行する。
(ii) $:v_0 = \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0$ のとき
重心速度と角速度が一緒に０になり、 $t = t_1 = t_2 = t_3$ で球体は静止する。
(iii) $:v_0 \gt \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0$ のとき
角速度が先に $t = t_2$ で０になり、その後逆転して、 $t = t_3$ ですべりから転がりへ移行する。

(ii)の状況というのは、実はよく起こることである。テーブルクロス引きで球体が角速度と初速度を与えられたとき、この初期条件が与えられる。

テーブルクロスから球体が受ける摩擦力は、テーブル面に対して力のモーメントをもたないから、テーブル面上の任意軸まわりの角運動量が０に保存される。
$Mav_0 - \displaystyle\frac{2}{5}Ma^2\omega_0 = 0$
$\therefore v_0 = \displaystyle\frac{2}{5}a\omega_0$
したがって、クロスをはなれた球体はいずれ静止する。
（参考：『楽しめる物理問題200選』）