回転球の正面衝突

衝突・運動量保存 剛体の回転・角運動量保存
【問題】

鉛直軸の周りに角速度 \omega で回転しながら速度 u で水平面上を進んできた球が、静止している他の等しい球に正面衝突するとき、衝突後に各球は初めの進行方向に対してそれぞれどの方向に進むか。また、これらの方向角が最大となるのは角速度 \omega がいくらのときか。衝突点において滑らない場合と滑る場合について求めよ。ただし両球の間の静止摩擦係数を \mu_0 、運動摩擦係数を \mu 、反発係数を e とする。
（出典：学術図書出版「力学への道」）
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【解答】

衝突後の速度、角速度を (u_1,-v), \omega_1, (u_2,v), \omega_2 とおく。
衝突方向の運動量保存
u = u_1 + u_2
反発係数関係
eu = u_2 - u_1
連立により、
u_1 = \displaystyle\frac{(1-e)u}{2}
u_2 = \displaystyle\frac{(1+e)u}{2}
を得る。

運動量－力積関係
F\_ = mv
N\_ = mu_2
角運動量保存（衝突点まわり）
\omega = \omega_1 - \omega_2
　　※角運動量－角力積関係の連立でも得られる
角運動量－力積関係
-F\_ a = I\omega_2
滑らない条件（束縛条件）
a\omega_1 + a\omega_2 = 2v

以上から、衝突後の運動方向
\theta_1 = \tan^{-1}\displaystyle\frac{2a\omega}{7(1－e)u}
\theta_2 = \tan^{-1}\displaystyle\frac{2a\omega}{7(1+e)u}
を得る。

最大角は、
F\_ = \mu_0 N\_
により、
\theta_{1max} = \tan^{-1}\displaystyle\frac{\mu_0(1+e)}{1－e}
\theta_{2max} = \tan^{-1}\mu_0
となる。

滑る場合は
F\_ = \mu N\_
により、
\theta_1 = \tan^{-1}\displaystyle\frac{\mu(1+e)}{1－e}
\theta_2 = \tan^{-1}\mu
は \omega に関係なく一定である。