球面を転がり落ちる小球

剛体の回転・角運動量保存

球面をころがる小球 - 科学のおもちゃ箱@Hatena
と同じだが、ころがる球が大きくて見栄えがするので再掲。

【問題】

質量 M ，半径 a の小球が固定された半径 R の球の頂点から初速度0で転がり落ちるとき，どこで球から離れるか？

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Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=593&file=sphere-on-sphere.phz

【解答】

大球の中心に対して小球の重心位置を鉛直軸からの中心角 \theta で表す。
また，小球の回転角を \varphi とする。

エネルギー保存

\displaystyle\frac{1}{2} M(R+a)^2{\dot{\theta}}^2 + \frac{1}{2} I {\dot{\varphi}}^2 = Mg(R+a)(1-\cos\theta)

ただし，

I = \displaystyle\frac{2}{5}Ma^2

束縛条件

\dot{\varphi} = \displaystyle\frac{R+a}{a} \dot{\theta}

大球中心に対する小球重心の半径方向の運動方程式より

M(R+a){\dot{\theta}}^2 = Mg \cos\theta - N

垂直抗力 N=0 より

{\dot{\theta}}^2 = \displaystyle\frac{g \cos\theta}{R+a}

上のエネルギー保存に代入して整理すると，

\cos\theta = \displaystyle\frac{10}{17}

を得る。

小球の半径 a に依存しない結果になったのは，ちょっと予想外だった。
画像はAlgodooによるシミュレーションで抗力 N=0 になったときの \theta を求めたものである。


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（初稿：2012/12/13）