ビリヤード球のすべりところがり - 科学のおもちゃ箱@Hatena

以前、一般的な球体のすべりところがりについて考察した。
水平面上の球体のすべりと転がり - 科学のおもちゃ箱@Hatena
この考察は、理想化した玉突き（ビリヤード）の球の運動にそのまま応用される。

【問題】

質量 $M$ 、半径 $a$ のビリヤード球を粗い水平面に静止させ、その中心から上向きに $h$ の点に撃力（の力積） $P$ を水平に加える。その後の重心運動および、重心まわりの回転運動を考察せよ。ただし、球と水平面との間の動摩擦係数を $\mu$ とする。
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【解答】

撃力を受ける間の摩擦力の影響は無視する。
撃力によって生じる重心の初速度を $v_0$ とすると、運動量‐力積関係により
$Mv_0 = P$
角速度の初期値を転がる向きを正として $\omega_0$ とおくと、角運動量-角力積関係により
$I\omega_0 = Ph$
ただし、
$I = \displaystyle\frac{2}{5}Ma^2$

連立により
$v_0 = \displaystyle\frac{2a}{5h}a\omega_0$
を得る。

(i) $h \gt \displaystyle\frac{2}{5}a$ のとき

$v_0 \lt a\omega_0$ だから、摩擦力は進行方向である。
重心の運動方程式は
$M\ddot{x} = \mu Mg$ 　→　 $v = v_0+\mu gt$
重心まわりの回転の運動方程式は
$I\dot{\omega} = -\mu Mga$ 　→　 $\omega = \omega_0 - \displaystyle\frac{5\mu g}{2a} t$
すべりがなくなり、ころがりに移行する時刻 $t_1$ として、
$v_0+\mu gt_1 = a\left(\omega_0 - \displaystyle\frac{5\mu g}{2a} t_1\right)$
したがって、
$t_1 = \displaystyle\frac{2(a\omega_0 - v_0)}{7\mu g}$
を境にころがりに移行し、最終速度は
$v_t = \displaystyle\frac{5}{7}v_0+\frac{2}{7}a\omega_0$
となる。

(ii) $h = \displaystyle\frac{2}{5}a$ のとき

撃力を受けた直後から、球はすべらずに転がる。