回転する棒の衝突

剛体の回転・角運動量保存
［問題］

長さ 2l、質量 M の棒が回転しながら落ちてきて、一端が滑らかで水平な床に当たるとき、衝突直後の重心の速度 v、重心の周りの角速度 \omega を求めよ。 ただし棒は速度 v_0、角速度\omega_0 をもって床に傾角 \theta で当たるとし、床との反発係数はe とする。
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［解答］

とりわけ回転を含む運動の解析では、正の向きの指定があやふやだと混乱の元になる。ここでは、速度・力積の正方向は鉛直上方とし、角度・角速度の正方向は \theta の増加方向とする。

①運動量－力積関係
Mv - Mv_0 = N\it{\Delta}t

②角運動量－角力積関係
I\omega - I\omega_0 = - Nl\cos\theta\cdot\it{\Delta}t

③反発係数
l\omega \cos\theta - v = - e(l\omega_0 \cos\theta - v_0)

以上を連立させて
v = \displaystyle\frac{(3\cos^2\theta - e)v_0 + (1+e)l\omega_0 \cos\theta}{1+3\cos^2\theta}
\omega = \displaystyle\frac{3(1+e)v_0 \cos\theta + (1 - 3e \cos^2\theta)l\omega_0}{l(1+3\cos^2\theta)}
を得る。

Algodoo シミュレーションで結果がほどよく一致した。
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