中心軸が連結された２円板 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

中心軸が棒で連結され，摩擦によって転がりに移行する２円板の系の運動

【問題】
図のように，質量 $M$ および $m$ で半径 $R$ および $r$ の一様な２円板が，相互の回転軸を軽い棒で連結された状態で，摩擦のない水平面上で初期角速度 $\omega_1$ および $\omega_2$ で相互にすべり始める。連結棒は初め回転していなかったものとして，すべりが転がりに移行した後の２円板の回転の角速度，および系全体すなわち連結棒の角速度を求めよ。

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※Algodooシーンの設定は，
$M=20$ kg, $m=10$ kg, $R=2.0$ m, $r=1.0$ m, $\omega_1=1.0$ rad/s, $\omega_2=-1.0$ rad/s である。正確な接触では十分な摩擦が得られない。棒の長さを半径の和よりほんの少し小さくして，２円板の回転軸間にテンションがかかるようにする。

Algodooシーンのダウンロード
https://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=449&file=AngMoment.phz
↓ 設定は異なりますが、大きくして精度を確保しました。
https://img.atwiki.jp/yokkun/attach/314/1501/Ang-Moment.phz

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求める角速度を図のように ${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$ とする。
系の重心周りの角運動量保存により，

$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = I_1{\omega_1}^\prime + I_2{\omega_2}^\prime + \mu(R+r)^2\Omega$ 　…(1)

ただし，

$I_1 = \displaystyle\frac{1}{2}MR^2,\qquad I_2 = \frac{1}{2}mr^2$
$\mu = \displaystyle\frac{Mm}{M+m}$ 　（換算質量）

である。また，２円板の相互作用における作用反作用則により，

$\displaystyle\frac{I_1({\omega_1}^\prime - \omega_1)}{R} = \frac{I_2({\omega_2}^\prime - \omega_2)}{r}$ 　…(2)

さらに，転がりへの移行により

$R({\omega_1}^\prime - \Omega) = -r({\omega_2}^\prime - \Omega)$ 　…(3)

(1)(2)(3)を　 ${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime,\Omega$ 　の連立方程式として解く。(2)より，

${\omega_2}^\prime - \omega_2 = \displaystyle\frac{MR}{mr}({\omega_1}^\prime - \omega_1)$ 　…(4)

(1)を整理すると，

$MR^2({\omega_1}^\prime - \omega_1) + mr^2({\omega_2}^\prime - \omega_2) + 2\mu(R+r)^2\Omega = 0$

(4)を代入すれば，

${\omega_1}^\prime = \omega_1 - \displaystyle\frac{2\mu(R+r)}{MR}\Omega,\qquad{\omega_2}^\prime = \omega_2 - \displaystyle\frac{2\mu(R+r)}{mr}\Omega$

を得る。これを(3)に代入して，

$\Omega = \displaystyle\frac{R\omega_1+r\omega_2}{3(R+r)}$

上の式から， ${\omega_1}^\prime,{\omega_2}^\prime$ を得る。
$\Omega$ が両者の質量に無関係であることは興味深い結果である。

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理論値　 $\Omega=1/9=0.111{\rm rad/s}$ 　にぴったり一致した。

（初稿：2010/10/25　2022/03/10 訂正加筆）