斜面からの投射 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

【問題】

傾角30°のなめらかな斜面の下端から，打ち出された小球が斜面を上昇する。斜面の上端は高さ $h$ となっており，その真下から水平距離 $4h$ のところにかごが置いてある。小球がかごに入るための初速を求めよ。ただし，小球の大きさおよびかごの深さは無視でき，重力加速度の大きさを $g$ とする。

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Algodoo　シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=196&file=shahou.phz

【解答】

求める初速を $v_0$ ，小球の質量を $m$ ，斜面上端から飛び出す速さを $v$ とすると，エネルギー保存により
$\displaystyle\frac{1}{2}mv_0\;^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh \qquad \therefore v_0 = \sqrt{v^2+2gh}$
飛び出してからかごに入るまでの時間を $t$ とすると，
$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}vt = 4h$
$\displaystyle\frac{1}{2}vt - \frac{1}{2}gt^2 = -h$
２式より $t$ を消去して
$v^2 = \displaystyle\frac{32(4\sqrt{3}-3)}{39}gh$
したがって，
$v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{32(4\sqrt{3}-3)}{39}gh+2gh} = \sqrt{\displaystyle\frac{128\sqrt{3}-18}{39}gh}$

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（初稿：2009/11/21）