斜面をすべる台上のばね振子 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

埼玉大'03入試問題より。斜面をすべりおりる台の上で振動するばね振子の相対運動の問題。

【問題】

大きさが無視できる質量 $m$ の小球Aが，ばね定数 $k$ の軽いばねを通じて質量 $M$ の台Bの上につながれている。ばねが自然長のとき，小球Aは台Bの重心の真上にある。重力加速度の大きさを $g$ とし，摩擦や抵抗は無視できるものとして下の各問いに答えよ。
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(1) 傾角 $\theta$ の斜面上に台Bを静止させ，小球をつりあいの位置に静止させた状態から時刻 $t=0$ に手を離した。AおよびBの運動方程式をたてよ。ただし，斜面にそって下向きに測ったAとBそれぞれの重心の座標を $x_A,x_B$ ，その加速度を $a_A,a_B$ とする。
(2) Bとともに動く観測者から見たAの斜面下向きの加速度 $a_{AB}$ を， $k,M,m$ およびBの重心から測ったAの座標 $x_{AB}(=x_A-x_B)$ を用いて表せ。
(3) 時刻 $t$ における， $x_{AB}$ を $\theta,k,M,m,g,t$ を用いて表せ。
※　Algodoo の設定は， $M=5.0{\rm kg} , m=1.0{\rm kg} , k=5.0{\rm N/m} , \theta=\pi/6$ である。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=315&file=Saitama03kou.phz

【解答】

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(1)
求める運動方程式は，
$ma_A = mg\sin\theta - k(x_A - x_B)$
$Ma_B = Mg\sin\theta + k(x_A - x_B)$
(2)
(1)の結果から，
$a_A = g\sin\theta - \displaystyle\frac{k}{m}(x_A - x_B)$
$a_B = g\sin\theta + \displaystyle\frac{k}{M}(x_A - x_B)$
したがって，
$a_{AB} = a_A - a_B = -\displaystyle\frac{M+m}{Mm}\;k(x_A - x_B) = -\frac{M+m}{Mm}\;kx_{AB}$
(3)
$t=0$ において，
$x_{AB}=\displaystyle\frac{mg}{k}\;\sin\theta$
であるから，
$x_{AB} = \displaystyle\frac{mg}{k}\;\sin\theta\cdot\cos\sqrt{\frac{k(M+m)}{Mm}}\cdot t$
となる。

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（初稿：2010/01/08）