加速する斜面から飛び出す物体

放物運動 相対運動

慶応'05入試問題より。水平に加速する斜面をのぼり，上端から飛び出す物体の運動。

【問題】

傾角30°で長さ L のなめらかな斜面の下端に質量 M の小物体が静止している。今，重力加速度の大きさ g の \sqrt 3 倍の一定加速度で，斜面が水平右向きに動き始めた。図のように座標軸をとる。

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(1) 斜面が動き始めてから小物体が斜面上端を飛び出すまでの時間と，飛び出すときの水平位置，および速度成分を求めよ。

(2) 小物体が斜面を飛び出してから地面に落下するまでの時間と，着地点の水平位置を求めよ。

※ Algodoo の設定は，L=2/\sqrt 3\;{\rm m} である。加速は長いばねで引いて近似的に等加速度を実現した。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=296&file=Keio05.phz

【解答】加速する斜面から飛び出す物体

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(1)

斜面とともに動く立場で見たとき，斜面上方への加速度 a は運動方程式により

Ma = \sqrt 3 Mg\cdot\displaystyle\frac{\sqrt 3}{2} - Mg\cdot\frac{1}{2} \qquad \therefore a = g

となる。したがって，飛び出すまでの時間を t_1 とすると

L = \displaystyle\frac{1}{2}a{t_1}^2 \qquad \therefore t_1 = \sqrt\frac{2L}{g}

である。このとき，飛び出す水平位置 x_1 は

x_1 = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\sqrt 3 g{t_1}^2 = \sqrt 3 L

となる。また，速度成分は

v_x = \sqrt 3 gt_1 - gt_1\cdot\displaystyle\frac{\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt{6gL}}{2}

v_y = gt_1\cdot\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2gL}}{2}

(2)

求める時間を t_2 とすると，

0 = \displaystyle\frac{1}{2}\;L + v_yt_2 - \frac{1}{2}g{t_2}^2 \qquad \therefore t_2 = \frac{1+\sqrt 3}{2}\;\sqrt\frac{2L}{g}

また，着地点の水平位置 x_2 は

x_2 = x_1 + v_xt_2 = \sqrt 3 L + \displaystyle\frac{\sqrt{6gL}}{2}\cdot \frac{1+\sqrt 3}{2}\;\sqrt\frac{2L}{g} = \frac{3(1+\sqrt 3)}{2}\;L

となる。

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（初稿：2010/01/02）