モンキーハンティング問題

放物運動
【問題】

水平距離 L，高さ H から小球Aが自由落下をはじめるのと同時に，原点から小球Bを初速 v_0 で斜方投射して衝突させる。重力加速度の大きさを g とする。

(1) 衝突させるためのBの初速度方向の条件を求めよ。
(2) Bの軌道の最高点で衝突するための初速 v_0 を求めよ。
(3) 正の高さで衝突が実現するための初速 v_0 の下限を求めよ。

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Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=195&file=MonkeyQ.phz

【解答】

(1)

時刻 t における小球A，Bの座標は，

x_A = L
y_A = H - \displaystyle\frac{1}{2}gt^2
x_B = v_0\cos\theta\cdot t
y_B = v_0\sin\theta\cdot t - \displaystyle\frac{1}{2}gt^2

x_A = x_B, \quad y_A = y_B により，

L = v_0\cos\theta\cdot t
H = v_0\sin\theta\cdot t
\therefore \tan\theta = \displaystyle\frac{H}{L}

すなわちBの初速度がAの初期位置の方向を向けばよい。
これが標準的な解き方だが，自由落下する実験室で見れば，無重力下で静止したAにBが等速度運動することになるから，上の結果は自明である。

(2)

Bが水平距離 L に到達する時刻は，x_B = L より

v_0\cos\theta\cdot t = L \qquad \therefore t = \displaystyle\frac{L}{v_0\cos\theta}

Bが最高点に達する時刻は，

v_0\sin\theta - gt = 0 \qquad \therefore t = \displaystyle\frac{v_0\sin\theta}{g}

したがって，

\displaystyle\frac{v_0\sin\theta}{g} = \frac{L}{v_0\cos\theta}
\therefore v_0 = \sqrt{\displaystyle\frac{g(L^2+H^2)}{H}}

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(3)

衝突時刻に，y_A = y_B \gt 0 であればよいから，

H - \displaystyle\frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v_0\cos\theta}\right)^2 \gt 0 \qquad \therefore v_0 \gt \sqrt{\frac{g(L^2+H^2)}{2H}}

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（初稿：2009/11/21）