衝突する振子のついた台車

衝突・運動量保存 相対運動

京都府医大'08を参考にしたオリジナル問題。

【問題】

水平面を摩擦なく動くことのできる質量 M=\alpha m の台車上に，質量 m のおもりを軽い棒につけた振子が設置してある。おもりを高さ h に上げ，全体を静止した状態からおもりを放すと，おもりは最下点で台車に固定されたストッパーに，はねかえり係数 e で衝突する。重力加速度の大きさを g とし，おもりと台車以外の質量は無視できるものとする。また，おもりとストッパーの衝突以外で力学的エネルギーが失われることはないものとする。
[A] 台車が自由に動ける場合
(1) 衝突直前，直後のおもり，および台車の速度を水平右方向を正として求めよ。
(2) 衝突後のおもりの最高点の高さを求めよ。

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[B] 台車が初め左に動けないようにした場合
(3) 衝突直前，直後のおもり，および台車の速度を水平右方向を正として求めよ。
(4) 衝突後のおもりの最高点の高さを求めよ。

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※ Algodoo の設定は，\alpha = 4.0, e = 0.70, h = 0.50{\rm m} である。

Algodoo シーン
>http://www14.atwiki.jp/yokkun?cmd=upload&act=open&pageid=290&file=huriko-daisha.phz

【解答】

[A]

(1)

衝突直前のおもりおよび台車の速度を v,V，衝突直後のそれを v^\prime,V^\prime とおくと，運動量保存により

0 = mv + MV = mv^\prime + MV^\prime

衝突前のエネルギー保存により，

mgh = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2

はねかえり係数 e により，
V^\prime - v^\prime = e(v - V)

以上より，

v = \sqrt{\displaystyle\frac{2\alpha gh}{1+\alpha}},\qquad V = -\displaystyle\sqrt{\frac{2gh}{\alpha(1+\alpha)}}

v^\prime = -ev = -e\sqrt{\displaystyle\frac{2\alpha gh}{1+\alpha}},\qquad V^\prime = -eV = e\sqrt{\displaystyle\frac{2gh}{\alpha(1+\alpha)}}

を得る。なお，衝突後の速度がそれぞれ衝突前の速度に -e を乗じたものになることは，衝突の瞬間に相対速度ゼロになったとき，どちらも絶対速度ゼロになるべきことから明らかである。

(2)

最高点になるとき，どちらも速度ゼロになるから，衝突後のエネルギー保存により

\displaystyle\frac{1}{2}m{v^\prime}^2 + \frac{1}{2}M{V^\prime}^2 = mgh^\prime

\therefore h^\prime = e^2 h

結果は，水平面への自由落下でよく知られた関係に等しい。

[B]

(3)

衝突前は，

v = \sqrt{2gh},\qquad V = 0

また，運動量保存により

mv = mv^\prime + MV^\prime

はねかえり係数 e より，

ev = V^\prime - v^\prime

以上から，

v^\prime = \displaystyle\frac{1-e\alpha}{1+\alpha}\sqrt{2gh},\qquad V^\prime = \frac{1+e}{1+\alpha}\sqrt{2gh}

を得る。

(4)

最高点において，両者の相対速度はゼロになる。このときの両者の速度を V_0 とおくと，運動量保存により

mv = (M+m)V_0 \qquad \therefore V_0 = \displaystyle\frac{v}{1+\alpha}

衝突後のエネルギー保存により，

\displaystyle\frac{1}{2}m{v^\prime}^2 + \frac{1}{2}M{V^\prime}^2 = \frac{1}{2}(M+m){V_0}^2 + mgh^\prime

以上より，

h^\prime = \displaystyle\frac{\alpha e^2}{1+\alpha}\;h

を得る。

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（初稿：）