雪崩の単純化モデル - 科学のおもちゃ箱@Hatena

雪崩の最も単純な力学モデル？

【問題】

水平と $\alpha$ の角をなす斜面に一様に積もった雪が上部から次々に積み重なりながら落ちるときの雪崩の加速度を求めよ。雪塊の大きさは無視し，すべりはないものとする。
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雪崩が起き始まる位置を原点として斜面下方に $x$ 軸をとる。
雪の密度を $\rho$ ，雪崩を起こす積雪の断面積を $S$ とすると，雪崩の位置が $x(t)$ のとき雪塊の質量は，
$m = \rho Sx$
この雪塊が微小時間 $dt$ の間に，長さ $dx=\dot{x}dt$ ，質量
$dm = \rho S dx$
の雪を巻き込みながら進む。
これは，基本的に完全非弾性衝突＝合体と考えることができる。
このとき，運動量-力積関係は
$m\dot{x} + mg\sin\alpha\cdot dt = (m+dm)(\dot{x}+d\dot{x})$
となる。両辺を $dt$ で割って２次の微少量を落として整理すれば，
$m \ddot{x} + \dot{x}\dot{m} = mg\sin\alpha$
上の $m,dm$ を用いてさらに
$\ddot{x} +\displaystyle \frac{\dot{x}^2}{x} = g\sin\alpha$
ここで，一定の加速度 $a=\ddot{x}$ を仮定すると
$\dot{x}=at,\quad x=\displaystyle\frac{1}{2}at^2$
だから，
$3a = g\sin\alpha$
すなわち，
$a = \displaystyle\frac{1}{3}g\sin\alpha$
を得る。

（初稿：2013/01/14）

補足

次のように考えると、もう少し見通しがよくなる。
簡明さのために、 $v=\dot{x},\quad a=\dot{v}=\ddot{x}$ を用いる。
運動方程式は
$\displaystyle\frac{d(\rho xv)}{dt} = \rho x g\sin\alpha$
となる。
これから追加される雪からの抵抗力はどこへ行った？と思われるかもしれないが、実は左辺に隠れているのである。
$\displaystyle\frac{d(\rho xv)}{dt} = \rho v^2 + \rho xa$
により、
$\rho xa = \rho xg\sin\alpha - \rho v^2$
を得、右辺第2項が抵抗力を表している。

ここで最初の運動方程式に戻り
$\displaystyle\frac{d(xv)}{dt} = \frac{d(xv)}{dx}\cdot v$
を用いると、
$xv\displaystyle\frac{d(xv)}{dx} = x^2g\sin\alpha$
すなわち
$xv \cdot d(xv) = g\sin\alpha\cdot x^2dx$
となってただちに積分でき、
$\displaystyle\frac{1}{2}(xv)^2 = \frac{1}{3}x^3 g\sin\alpha$
すなわち
$v^2 = \displaystyle\frac{2}{3}g\sin\alpha\cdot x$
時間微分によって、
$a = \displaystyle\frac{1}{3}g\sin\alpha$
を得る。

（補稿：：2020/11/10）