保存力としての張力 - 科学のおもちゃ箱@Hatena

次のような質問を拾った。
「糸の張力を保存力としてあつかえるのはなぜか」
初め、趣旨がよくわからなかったが、次のような問題場面に関しての疑問である。

【問題】
ピンと張った長さ $2l$ の糸の両端を固定し、中央に質量 $m$ の質点をつけた。質点を糸に垂直にはじいたときにおこる微小振動の周期を求めよ。重力は無視でき、糸の張力 $S$ は一定であるものとする。

【解答】
糸のつり合い位置からの角変位を $\theta$ とすると、質点の変位は近似によって $l\theta$ と書ける。このとき復元力は、 $2S\theta$ と近似できるから、運動方程式は

$ml\ddot\theta = -2S\theta$

これは単振動の方程式にほかならず、周期は
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{ml}{2S}}$
となる。

質量が無視でき伸び縮みしない、というのが理想化された糸であり、糸は通常単純な力の伝達装置としてのあつかいとなる。しかし、この場面では糸が伸び縮みしなければ質点の変位は考えられない。なおかつ、張力一定なのにもかかわらず、弾性エネルギーの変化が生じるという不思議な存在になっているのである。

糸をばねにおきかえて（弾性体として）考察してみた。
弾性力を一定とした近似がほどよい近似であることを、シミュレーションは示している。

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この張力一定の近似は、弦を伝わる横波の1次元波動方程式を導出する考察においても現れる。今までは近似の所産として受け容れてきたが、確かによく考えてみると最もな疑問である。

そこで、弾性エネルギーと復元力のエネルギーを計算比較してみた。同じになるべきことは明らかだが、数学的に立証しようというわけだ。

復元力のエネルギー

張力は、糸（ばね）の自然長 $l_0$ として、
$S=k(l-l_0)$
したがって、運動方程式は
$ml\ddot\theta = -2k(l-l_0)\theta$
復元力の係数は
$K = \displaystyle\frac{2k(l-l_0)}{l}$
であるから、復元力のポテンシャルエネルギーは
$U=\displaystyle\frac{1}{2}K(l\theta)^2 = \frac{k(l-l_0)}{l}(l\theta)^2$
となる。

弾性エネルギーの増加分

ポテンシャルエネルギーは糸（ばね）にたくわえられるものである。そこで、ばねの伸びを考察して弾性エネルギーの増分を導出する。角変位 $\theta$ におけるばねの追加の伸びを ${\it\Delta}l$ とすれば、
$U = 2\times\left\{\displaystyle\frac{1}{2}k(l+{\it\Delta}l - l_0)^2 - \frac{1}{2}k(l - l_0)^2\right\} \simeq 2k(l - l_0){\it\Delta}l$
ここで
$\cos\theta \simeq 1 - \displaystyle\frac{\theta^2}{2}$
$\cos\theta = \displaystyle\frac{l}{l+{\it \Delta}l} \simeq 1 - \frac{{\it\Delta}l}{l}$
より、
${\it\Delta}l = \displaystyle\frac{l\theta^2}{2}$
を適用すれば、
$U = \displaystyle\frac{k(l-l_0)}{l}(l\theta)^2$
を得る。

変位角 $\theta$ を通じて、後者における伸びの弾性エネルギー増加がそのまま前者の復元力のエネルギーに反映されていることがわかる。