ビリヤード問題

衝突・運動量保存

知恵袋から拾った問題。

【問題】

ビリヤード球A,B,Cがあり、B,Cの中心を結ぶ直線に垂直にAを初速度 v_0 で打ち出し、Bに衝突後、AをCに正面衝突させたい。球の半径 R 、B,Cの中心間距離 a とするとき、「衝突パラメータ」x をいくらにすべきか。ただし、摩擦や抵抗は一切ないものとし、衝突は弾性衝突とする。

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【解答】

最初衝突後のBの進行方向を v_0 の方向に対して角 \theta、Aの進行方向を v_0 の方向に対して角 \phi …などとおいて運動量保存とエネルギー保存を立式して、ごりごり計算して結果を得たが、まったく無駄であった。

運動量保存とエネルギー保存から、衝突後の両者の速度は互いに垂直になるべきである。

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したがって、単純な図形問題に帰着し

\displaystyle\frac{2R}{a} = \frac{x}{2R}

すなわち

x = \displaystyle\frac{4R^2}{a}

を得る。