球の段差乗り上げ

剛体の回転・角運動量保存

円柱の段差乗り上げについて考察したことがあった。
円柱の段差乗り上げ - 科学のおもちゃ箱@Hatena
同じ考察を球でやってみた。ただし、段差の高さの条件は計算が面倒でシミュレーションにも不便なので、初速条件を題意とした。

【問題】

半径 r の球が粗い水平面をすべることなく転がっている。高さ h の段差を乗り上げるのに必要な速さを求めよ。ただし、摩擦力は十分大きく、段差への衝突は完全非弾性衝突とする。
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【解答】

突起との衝突時に受ける撃力は，突起まわりのトルクを持たないので，突起まわりの角運動量は衝突前後で保存される。衝突直後の角速度を　\omega とすると，

mr\omega_0(r-h) + \displaystyle\frac{2}{5}mr^2\omega_0 = \left(\frac{2}{5}mr^2 + mr^2\right)\omega
\therefore \omega = \displaystyle\frac{7r-5h}{7r}\omega_0
ただし、v = r\omega_0 である。

衝突後のある時刻における，突起と中心を結ぶ半径の仰角 \theta として，エネルギー保存則により

\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{7}{5}mr^2\right)\dot{\theta}^2 + mgr \sin\theta = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{5}mr^2\right)\omega^2 + mg(r-h)

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突起を越える限界において，\theta=\pi/2 のとき \dot\theta=0 より

\displaystyle\frac{7}{10}mv^2\left( \frac{7r-5h}{7r} \right)^2 \gt mgh

したがって、

v \gt \displaystyle\frac{r \sqrt{70gh}}{7r-5h}

を得る。

Algodooによるシミュレーション
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Algodooシーンのダウンロード
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