エネルギーによって軌道長半径が決まること２

で円軌道からの考察をしたが、近地点・遠地点のエネルギー保存と角運動量保存（面積速度一定）を連立させれば、素直に衛星のエネルギーが軌道長半径のみによって決まることが得られる。

近地点および遠地点における距離と速さを $r_1,v_1,r_2,v_2$ とすると、面積速度一定により

$r_1v_1 = r_2v_2$ 　→　 $v_2 = r_1v_1/r_2$

近地点‐遠地点の力学的エネルギー保存により

$\displaystyle\frac{1}{2}m{v_1}^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}m{v_2}^2 - \frac{GMm}{r_2}$

上の $v_2$ を代入して整理すると、

${v_1}^2 = \displaystyle\frac{2GMr_2}{r_1(r_1+r_2)}$

あらためて近地点のエネルギーに代入すれば、軌道における力学的エネルギー

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = - \frac{GMm}{r_1+r_2}$

を得る。